Question

23、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)直線MN繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí)，
求證：①△ADC≌△CEB；     ②DE=AD+BE
（2）當(dāng)直線MN繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí)，①找出圖中一對(duì)全等三角形；②DE、AD、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)余角和補(bǔ)角的性質(zhì)易證得∠DAC=∠ECB，已知∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB，根據(jù)全等三角的判定AAS即可證明△ADC≌△CEB，根據(jù)各邊的相等關(guān)系即可得DE=AD+BE．
（2）同理可證得△ADC≌△CEB，再根據(jù)各邊的相等關(guān)系可得DE=AD-BE．

解答：解：（1）∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=180°-90°=90°，
∴∠DAC=∠ECB；
在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠ECB，AC=CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS）①，（7分）
∴DC=EB，AD=CE，
∴DE=AD+BE．（9分）

（2）同理可得△ADC≌△CEB①；（11分）
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=AD-BE②．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到補(bǔ)角和余角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．