【題目】如圖1,已知開(kāi)口向下的拋物線y1=ax2﹣2ax+1過(guò)點(diǎn)A(m,1),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為B,將拋物線y1繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線y2,點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D,E.
(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A,C,D的坐標(biāo);
(2)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí),求a的值及拋物線y2的解析式;
(3)在(2)的條件下,連接DC,線段DC上的動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥x軸,將矩形ABDE沿直線l折疊,設(shè)矩形折疊后相互重合部分面積為S平方單位,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,求S與t的函數(shù)關(guān)系.
【答案】(1)A(2,1)、C(0,1)、D(﹣2,1);(2)a=﹣,y2=x2+2x+1;(3)S=t2(0≤t≤1)或S=﹣(1<t≤2).
【解析】
試題分析:(1)直接將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y1=ax2﹣2ax+1得出m的值,因?yàn)橛蓤D象可知點(diǎn)A在第一象限,所以m≠0,則m=2,寫(xiě)出A,C的坐標(biāo),點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱,由此寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得出拋物線y1的頂點(diǎn)B的坐標(biāo),再由矩形對(duì)角線相等且平分得:BC=CD,在直角△BMC中,由勾股定理列方程求出a的值得出拋物線y1的解析式,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出拋物線y2的解析式;
(3)分兩種情況討論:①當(dāng)0≤t≤1時(shí),S=S△GHD=S△PDH+S△PDG,作輔助線構(gòu)建直角三角形,求出PG和PH,利用面積公式計(jì)算;②當(dāng)1<t≤2時(shí),S=S直角三角形+S矩形﹣S不重合,這里不重合的圖形就是△GE′F,利用30°角和60°角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)論.
試題解析:(1)由題意得:
將A(m,1)代入y1=ax2﹣2ax+1得:am2﹣2am+1=1,
解得:m1=2,m2=0(舍),
∴A(2,1)、C(0,1)、D(﹣2,1);
(2)如圖1,由(1)知:B(1,1﹣a),過(guò)點(diǎn)B作BM⊥y軸,
若四邊形ABDE為矩形,則BC=CD,
∴BM2+CM2=BC2=CD2,
∴12+(﹣a)2=22,
∴a=,
∵y1拋物線開(kāi)口向下,
∴a=﹣,
∵y2由y1繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到,則頂點(diǎn)E(﹣1,1﹣),
∴設(shè)y2=a(x+1)2+1﹣,則a=,
∴y2=x2+2x+1;
(3)如圖1,當(dāng)0≤t≤1時(shí),則DP=t,構(gòu)建直角△BQD,
得BQ=,DQ=3,則BD=2,
∴∠BDQ=30°,
∴PH=,PG=t,
∴S=(PE+PF)×DP=t2,
如圖2,當(dāng)1<t≤2時(shí),EG=E′G=(t﹣1),E′F=2(t﹣1),
S不重合=(t﹣1)2,
S=S1+S2﹣S不重合=+(t﹣1)﹣(t﹣1)2,
=﹣;
綜上所述:S=t2(0≤t≤1)或S=﹣(1<t≤2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),終點(diǎn)為B點(diǎn);點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),終點(diǎn)為A點(diǎn).點(diǎn)P和Q分別以每秒1cm和3cm的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng),在某時(shí)刻,分別過(guò)P和Q作PE⊥l于E,QF⊥l于F.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則當(dāng)t=_________秒時(shí),△PEC與△QFC全等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0時(shí),原方程應(yīng)變形為( )
A.(x+1)2=6
B.(x﹣1)2=6
C.(x+2)2=9
D.(x﹣2)2=9
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.有直角∠MPN,使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合,直角邊PM、PN分別與OA、OB重合,然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN,旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<90°),PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn),連接EF交OB于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中正確的是 .
(1)EF=OE;(2)S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)BE+BF=OA;(4)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;(5)OGBD=AE2+CF2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在等腰三角形中求角度,如果己知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角,求其底角的度數(shù),需要分為已知角是等腰三角形的頂角或者底角兩種情況,這體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是( )
A.數(shù)形結(jié)合B.類比思想
C.分類討論D.公理化
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在所給正方形網(wǎng)格圖中完成下列各題:(用直尺畫(huà)圖,保留痕跡)
(1)畫(huà)出格點(diǎn)△ABC(頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上)關(guān)于直線DE對(duì)稱的△A1B1C1;
(2)在DE上畫(huà)出點(diǎn)Q,使QA+QC最。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,平行四邊形ABOC如圖放置,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(0,4)、(-1,0),將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到平行四邊形A′B′OC′.
(1)若拋物線過(guò)點(diǎn)C、A、A′,求此拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),問(wèn):當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí),△AMA′的面積最大?最大面積是多少?并求出此時(shí)M的坐標(biāo);
(3)若P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),N為x軸上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1,0),當(dāng)P、N、B、Q 構(gòu)成平行四邊形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo),當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果代數(shù)式-2a+3b+5的值為12,那么代數(shù)式9b-6a+2的值等于( )
A.23 B.-23 C.19D.-19
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線l:y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn),拋物線y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi),連接AM、BM,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,△ABM的面積為S,求S與m的函數(shù)表達(dá)式,并求出S的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)S取得最大值時(shí),動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M′.
①寫(xiě)出點(diǎn)M′的坐標(biāo);
②將直線l繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到直線l′,當(dāng)直線l′與直線AM′重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,直線l′與線段BM′交于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2,當(dāng)d1+d2最大時(shí),求直線l′旋轉(zhuǎn)的角度(即∠BAC的度數(shù)).
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