Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝mx＋k，與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線y＝ax2＋bx﹣3a與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，AD＝4，將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長度，得到點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用k表示）；

（2）求拋物線的對(duì)稱軸；

（3）若拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，連接BD，BD比BO長1，拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線y＝mx＋k的解析式和a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）C（5，k）；（2）x＝1或者x＝－1；（3）y＝4x＋4，或或a＝﹣1．

【解析】

（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)可求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得拋物線的對(duì)稱軸；

（3）結(jié)合圖形，分三種情況：①a＞0；②a＜0，③拋物線的頂點(diǎn)在線段BC上；進(jìn)行討論即可求解．

解：（1）與y軸交點(diǎn)：令x＝0代入直線y＝mx＋k得y＝k，

∴B（0，k），

∵點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長度，得到點(diǎn)C，

∴C（5，k）；

（2）令y＝0代入拋物線y＝ax2＋bx﹣3a得到x＝

∴A（，0），D（，0）

∵AD＝4

∴＝4

兩邊平方得到

b2－4a(﹣3a)＝16a2

解得 b＝－2a，b＝2a

∴拋物線的對(duì)稱軸x＝1或者x＝－1；

（3）∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)

∴x＝﹣＝1 ．

∴拋物線y＝ax2－2ax﹣3a

∴點(diǎn)A（﹣1，0）點(diǎn)D（3，0）．

∵BO＝k，則BD＝k＋1

∴(k＋1)2＝k2＋32

∴k＝4

∵直線y＝mx＋k，與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B

∴直線y＝4x＋4．

①a＞0時(shí)，如圖1，將x＝0代入拋物線得y＝﹣3a，

∵拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴﹣3a＜4，a＞﹣，

將x＝5代入拋物線得y＝12a，

∴12a≥4，a≥，

∴a≥；

②a＜0時(shí)，如圖2，將x＝0代入拋物線得y＝﹣3a，

∵拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴﹣3a＞4，a＜﹣；

將x＝5代入拋物線得y＝12a，

∴12a≤4，a≤，

∴a＜﹣．

③當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在線段BC上時(shí)，則頂點(diǎn)為（1，4），

如圖3，將點(diǎn)（1，4）代入拋物線得4＝a﹣2a﹣3a，

解得a＝﹣1．

綜上所述，直線的解析式為y＝4x＋4，a的取值范圍為a≥或a＜﹣或a＝﹣1．