Question

如圖，在以AB為直徑的半圓中，有一個邊長2的內接正方形CDEF，則以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是（　　）

• A．x2-2

  5

  x+4=0
• B．x2-

  5

  x+2=0
• C．x2+

  5

  x+2=0
• D．x2+2

  5

  x+4=0

Answer 1

分析：首先過點O作OH⊥DE于點H，易證得四邊形OCDH是矩形，由垂徑定理可求得DH的長，然后由勾股定理求得OD的長，繼而可求得AC與BC的長，根據根與系數的關系即可求得答案．

解答：解：過點O作OH⊥DE于點H，
∵四邊形CDEF是正方形，且邊長為2，
∴四邊形OCDH是矩形，
∴OH=CD=DE=2，OC=DH=

1

2

DE=1，
在Rt△ODH中，OD=

OH2+DH2

=

5

，
∴AB=2OD=2

5

，
∴AC=OA-OC=

5

-1，BC=OB+OC=

5

+1，
∴AC+BC=AB=2

5

，AC•BC=4，
∴以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是：x2-2

5

x+4=0．
故選A．

點評：此題考查了垂徑定理、正方形的性質、勾股定理以及根與系數的關系．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．