Question

14．如圖，直線PO交⊙O于A，B兩點，直徑AB=10，弦AC∥PM．點M是$\widehat{AC}$的中點，
（1）求證：直線PM是⊙O的切線；
（2）若BC=4，求PO的長．

Answer 1

分析 （1）連接OM交AC于N，由垂徑定理的推論得出OM⊥AC，AN=CN，再由已知條件得出PM⊥OM，即可得出直線PM是⊙O的切線；
（2）證明ON是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出ON=$\frac{1}{2}$BC=2，證明△OAN∽△OPM，得出對應邊成比例$\frac{OA}{PO}=\frac{ON}{OM}$，即可得出PO的長．

解答 （1）證明：連接OM交AC于N，如圖所示：
∵點M是$\widehat{AC}$的中點，
∴OM⊥AC，AN=CN，
∵AC∥PM，
∴PM⊥OM，
∴直線PM是⊙O的切線；
（2）解：∵OA=OB，AN=CN，
∴ON是△ABC的中位線，
∴ON=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵AB=10，
∴OM=OA=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵AC∥PM，
∴△OAN∽△OPM，
∴$\frac{OA}{PO}=\frac{ON}{OM}$，即$\frac{5}{PO}=\frac{2}{5}$，
解得：PO=12.5．

點評 本題考查了切線的判定、垂徑定理、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握切線的判定，證明三角形相似得出比例式是解決問題（2）的關(guān)鍵．