Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、C的坐標分別為（-1，0）、（0，-

3

），點B在x軸上．已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點，且它的對稱軸為直線x=1，點P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個動點（點P與B、C不重合），過點P作x軸的平行線交BC于點F．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）求直線BC的解析式；
（3）若設點P的橫坐標為m，用含m的代數(shù)式表示線段PF的長；
（4）求△PBC面積的最大值，并求此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）可以采用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，因為點A（-1，0）、C（0，-

3

）在函數(shù)圖象上，對稱軸為x=1，也可求得A的對稱點B的坐標為（3，0），列方程組即可求得解析式；
（2）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式即可；
（3）由（2）可求得點F的坐標為（m，

3

3

m-

3

），再求得點P的縱坐標為

3

3

m²-

2 3

3

m-

3

，可得線段PF的長；
（4）利用面積和，△PBC的面積S=S_△CPF+S_△BPF=

1

2

PF×BO，即可求出．

解答：解：（1）設二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)），
由拋物線的對稱性知B點坐標為（3，0），
依題意得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=- 3

，
解得：

a= 3 3 b=- 2 3 3 c=- 3

，
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

；

（2）設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)），
依題意，得

3k+b=0 b=- 3

，
∴解得：

k= 3 3 b=- 3

，
故直線BC的解析式為：y=

3

3

x-

3

；

（3）∵P點的橫坐標為m，
∴P點的縱坐標為：

3

3

m²-

2 3

3

m-

3

，
∵直線BC的解析式為：y=

3

3

x-

3

；
∴點F的坐標為（m，

3

3

m-

3

），
∴PF=-

3

3

m²+

3

m（0＜m＜3）；

（4）∵△PBC的面積為：
S=S_△CPF+S_△BPF
=

1

2

PF×BO=

1

2

×（-

3

3

m²+

3

m）×3
=-

3

2

（m-

3

2

）²+

9 3

8

，
∴當m=

3

2

時，△PBC的最大面積為

9 3

8

，
把m=

3

2

代入y=

3

3

m²-

2 3

3

m-

3

，
得y=-

5 3

4

，
∴點P的坐標為（

3

2

，-

5 3

4

）．

點評：此題考查了二次函數(shù)綜合應用，要注意數(shù)形結(jié)合，認真分析，仔細識圖．注意待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，注意函數(shù)交點坐標的求法，注意三角形面積的求法．