Question

【題目】如圖，點(diǎn)M是直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN垂直于x軸于點(diǎn)N，y軸上是否存在點(diǎn)P，使△MNP為等腰直角三角形，請(qǐng)寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo) ．

Answer 1

【答案】（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）
【解析】解：當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到（﹣1，1）時(shí)，ON=1，MN=1，
∵M(jìn)N⊥x軸，所以由ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合條件的兩個(gè)P點(diǎn)；
又∵當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到第三象限時(shí)，要MN=MP，且PM⊥MN，
設(shè)點(diǎn)M（x，2x+3），則有﹣x=﹣（2x+3），
解得x=﹣3，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，﹣3）．
如若MN為斜邊時(shí)，則∠ONP=45°，所以O(shè)N=OP，設(shè)點(diǎn)M（x，2x+3），
則有﹣x=﹣ （2x+3），化簡(jiǎn)得﹣2x=﹣2x﹣3，
這方程無解，所以這時(shí)不存在符合條件的P點(diǎn)；
又∵當(dāng)點(diǎn)M′在第二象限，M′N′為斜邊時(shí)，這時(shí)N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
設(shè)點(diǎn)M′（x，2x+3），則OP=ON′，而OP= M′N′，
∴有﹣x= （2x+3），
解得x=﹣ ，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0， ）．
綜上，符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)是（0，0），（0， ），（0，﹣3），（0，1）．
所以答案是：（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）．


【考點(diǎn)精析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小；一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡(jiǎn)單,經(jīng)過原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對(duì)值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)才能正確解答此題．