Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸的正半軸上，且．

（1）如圖①，求拋物線的解析式；

（2）如圖②，連接，過點(diǎn)作的平行線，交第四象限的拋物線于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)在第四象限的拋物線上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)在的延長線上，連接、，且，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，）；（3）點(diǎn)K的坐標(biāo)為：（3，1）或（3，2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，4a），由，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題；

（2）先求出直線BC的解析式，由AD∥BC，得到k相等，再把點(diǎn)A代入，得到直線AD的方程，然后與二次函數(shù)組成方程組，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)題意，過點(diǎn)F作FL⊥x軸于L，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的解直角三角形，結(jié)合條件，得到邊之間的關(guān)系，設(shè)點(diǎn)E為（m，），則HE=，OH=m，利用邊之間的關(guān)系建立關(guān)于m的一元二次方程，即可求出m的值，即得到點(diǎn)K的橫坐標(biāo)，由，需進(jìn)行分類討論，即可得到答案.

解：（1）如圖①，

在中，設(shè)頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，4a），則OC=4a，

∵，

∴OA=OB=2OC=8a，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-8a，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（8a，0），

把點(diǎn)B代入拋物線，得：，

解得：或或，

∵，則，

∴，

∴拋物線的解析式為：；

（2）如圖②，連接，過點(diǎn)作的平行線，交第四象限的拋物線于點(diǎn)，

由（1）知，拋物線為，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B為（2，0），點(diǎn)A為（，0），

設(shè)直線BC的解析式為，

∴，解得：，

∴直線BC的解析式為：；

∵AD∥BC，

∴設(shè)直線AD的解析式為，

把點(diǎn)A代入，得：，

∴，

∴直線AD的解析式為：；

∴，解得：或，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（4，）；

（3）如圖，過點(diǎn)F作FL⊥x軸于L，

由（2）可知，直線AD為，

∴點(diǎn)I的坐標(biāo)為：（0，），

∴OI=1，OA=2，

∴.

∵FL⊥x軸，EH⊥x軸，EF⊥AD，

∴∠OAI+∠AGF=∠GEH+∠AGF=∠GFH+∠AGF=90°，

∴∠OAI =∠GEH=∠GFH，

∴，

即，

∴，，

∵，

∴，

即，

∴；

∴，

設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，），

∴，

∴，

∵，

∴ ，

整理得：，

解得：或（舍去）；

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（3，）；

∴點(diǎn)H為（3，0），點(diǎn)K的橫坐標(biāo)為3，

∴BH=1=OC，

①當(dāng)CK平行x軸時(shí)，∠HBK=∠BKC=45°，

此時(shí)△BHK是等腰直角三角形，

∴HK=BK=1，

∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（3，1）；

②當(dāng)△BKC時(shí)等腰直角三角形時(shí)，∠BKC=45°，則BC=BK，

∴△OBC≌△HKC（HL），

∴HK=OB=2，

∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（3，2）；

綜合上述，點(diǎn)K的坐標(biāo)為：（3，1）或（3，2）.