Question

已知拋物線y=x²-（a+b）x+

c2

4

，其中a、b、c分別為△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊．
（1）求證：該拋物線與x軸必有兩個不同的交點；
（2）設拋物線與x軸的兩個交點為P、Q，頂點為R，且∠PQR=α，tanα=

5

，若△ABC的周長為10，求拋物線的解析式；
（3）設直線y=ax-bc與拋物線y=x²-（a+b）x+

c2

4

交于點E、F，與y軸交于點M，且拋物線對稱軸為x=a，O是坐標原點，△MOE與△MOF的面積之比為5：1，試判斷△ABC的形狀并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）拋物線與x軸有兩個不同的交點，令y=0，那么得出的方程的△必大于0，已知了a、b、c是三角形的三邊，可根據(jù)三角形三邊關(guān)系進行求解．
（2）設拋物線的對稱軸與x軸的交點為D，根據(jù)α的正切值可得出

RD

QD

=

5

，根據(jù)拋物線的解析式可得出頂點R的坐標，即可得出RD的值，然后根據(jù)韋達定理表示出PQ的長，進而可得出QD的表達式，根據(jù)α的正切值和a+b+c=10即可求出拋物線的解析式．
（3）由于△MOE與△MOF等底，因此面積比等于高的比．即兩三角形的面積比等于E、F的橫坐標的比．可先表示出E、F的橫坐標，然后根據(jù)橫坐標比為5：1求出a、b、c的關(guān)系，進而可判斷出△ABC的形狀．

解答：（1）證明：y=x²-（a+b）x+

c2

4

△=（a+b）²-c²=（a+b+c）（a+b-c）（1分）
∵a，b，c為三角形三條邊
∴a+b+c＞0，a+b＞c，a+b-c＞0
∴△＞0
∴拋物線與x軸必有兩個不同交點（2分）

（2）解：設對稱軸與x軸交點為D
R（

a+b

2

，

c2-(a+b)2

4

），
∴RD=

(a+b)2-c2

4

∵PQ=|x₁-x₂|=

(a+b)2-c2

，DQ=

(a+b)2-c2

2

，tanα=

RD

DQ

=

(a+b)2-c2

2 (a+b)2-c2

=

5

∴

(a+b)2-c2

=2

5

，
∴（a+b）²-c²=20
∵△ABC周長為10，
∴a+b=10-c，（10-c）²-c²=20，c=4，a+b=6
∴y=x²-6x+4

（3）解：y=x²-（a+b）x+

c2

4

對稱軸x=

a+b

2

=a，
∴a=b；
求交點橫坐標：

y=x2-2ax+ c2 4 y=ax-ac

解之得：x²-3ax+ac+

c2

4

=0
∴x=

3a± 9a2-4ac-c2

2

∵拋物線與y軸交點（0，

c2

4

）在y軸正半軸．
直線y=ax-bc與y軸交點在y軸負半軸，a＞0
∴x₁＞0，x₂＞0，
∵

S△MOE

S△MOF

=

EE′

FF′

=

3a+ 9a2-4ac-c2 2

3a- 9a2-4ac-c2 2

=5
∴

9a2-4ac-c2

=2a
∴9a²-4ac-c²=4a²
∴5a²-4ac-c²=0，即（a-c）（5a+c）=0
∵5a+c≠0，
∴a=c
∴a=b=c，△ABC為等邊三角形．

點評：本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、韋達定理、二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．