Question

【題目】已知拋物線y=3ax2+2bx+c
（1）若a=b=1，c=﹣1求該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若a= ，c=2+b且拋物線在﹣2≤x≤2區(qū)間上的最小值是﹣3，求b的值；
（3）若a+b+c=1，是否存在實(shí)數(shù)x，使得相應(yīng)的y的值為1，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)a=b=1，c=﹣1時(shí)，拋物線為：y=3x2+2x﹣1，

∵方程3x2+2x﹣1=0的兩個(gè)根為：x1=﹣1，x2= ．

∴該拋物線與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是：（﹣1，0）和（ ，0）

（2）

解：a= ，c﹣b=2，則拋物線可化為：y=x2+2bx+b+2，

其對(duì)稱軸為：x=﹣b，

當(dāng)x=﹣b＜﹣2時(shí)，即b＞2，則有拋物線在x=﹣2時(shí)取最小值為﹣3，

此時(shí)﹣3=（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，

解得：b=3，符合題意，

當(dāng)x=﹣b＞2時(shí)，即b＜﹣2，則有拋物線在x=2時(shí)取最小值為﹣3，此時(shí)﹣3=22+2×2b+b+2，

解得：b=﹣ ，不合題意，舍去．

當(dāng)﹣2≤﹣b≤2時(shí)，即﹣2≤b≤2，則有拋物線在x=﹣b時(shí)，取最小值為﹣3，

此時(shí)﹣3=（﹣b）2+2×（﹣b）b+b+2，

化簡(jiǎn)得：b2﹣b﹣5=0，

解得：b1= （不合題意，舍去），b2= ．

綜上：b=3或b=

（3）

解：由y=1得3ax2+2bx+c=1，

△=4b2﹣12a（c﹣1），

=4b2﹣12a（﹣a﹣b），

=4b2+12ab+12a2，

=4（b2+3ab+3a2），

=4[（b+ a）2+ a2]，

∵a≠0，△＞0，

所以方程3ax2+2bx+c=1有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，

即存在兩個(gè)不同實(shí)數(shù)x0，使得相應(yīng)y=1

【解析】（1）直接將a=b=1，c=﹣1代入求出即可；（2）利用當(dāng)x=﹣b＜﹣2時(shí)，即b＞2，此時(shí)﹣3=（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2；當(dāng)x=﹣b＞2時(shí)，即b＜﹣2，則有拋物線在x=2時(shí)取最小值為﹣3，此時(shí)﹣3=22+2×2b+b+2；當(dāng)﹣2≤﹣b≤2時(shí)，即﹣2≤b≤2，則有拋物線在x=﹣b時(shí)，取最小值為﹣3，分別求出符合題意的答案即可；（3）由y=1得3ax2+2bx+c=1，則△=4b2﹣12a（c﹣1），求出△的符號(hào)得出答案即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．