Question

設(shè)a、b是兩個(gè)相鄰的整數(shù)，且c=ab，M²=a²+b²+c²，求證：M²是奇數(shù)．

Answer 1

分析：根據(jù)a、b是兩個(gè)相鄰的整數(shù)，不妨設(shè)a=b+1，由c=ab，則M²=a²+b²+c²=（b+1）²+b²+（b+1）²b²，然后討論b的奇偶性即可證明．

解答：證明：∵a、b是兩個(gè)相鄰的整數(shù)，不妨設(shè)a=b+1，則M²=a²+b²+c²=（b+1）²+b²+（b+1）²b²
=b²+2b+1+b²+（b²+2b+1）b²
=b⁴+2b³+3b²+1，
若b為偶數(shù)，則b⁴，2b³，3b²為偶數(shù)，∴b⁴+2b³+3b²+1為奇數(shù)，
若b為奇數(shù)，則b⁴，3b²為奇數(shù)，2b³為偶數(shù)，∴b⁴+2b³+3b²+1為奇數(shù)，
綜上所述：M²為奇數(shù)，即證明之．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了整數(shù)的奇偶性，難度適中，關(guān)鍵是用b把M²表示出來(lái)，然后討論b的奇偶性．