Question

【題目】已知拋物線過點(diǎn)A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)為拋物線在直線下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問：是否存在最小值？若存在，求岀這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

【答案】（1）.（2）（，）.（3）存在，.

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為，求出點(diǎn)C坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）設(shè)直線BC的解析式為：，求出BC的解析式，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用求出表達(dá)式，從而得到取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線CH，過點(diǎn)A作于H，得到，得到時(shí)值最小，分別求出HC和AH的表達(dá)式，聯(lián)立求出x，從而得到點(diǎn)H坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)A坐標(biāo)求出AH的長(zhǎng)，即可得到結(jié)果.

解：（1）拋物線過點(diǎn)A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

設(shè)拋物線的解析式為，則，

解得：，

∴拋物線的解析式為；

（2）設(shè)直線BC的解析式為：，

則，

解得：，

故直線BC的解析式為：，

過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，），則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x，）

則

∵

∴面積有最大值，此時(shí)

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；

（3）存在，理由如下

如圖，過點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線CH，過點(diǎn)A作于H

則，

∴時(shí)值最小

直線HC所在表達(dá)式中的k的值為，直線HC的表達(dá)式為：①

則直線AH所在表達(dá)式中的k的值為：

則直線AH所在表達(dá)式為：，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：

則直線AH所在表達(dá)式為：②

聯(lián)立①②并解得：

故點(diǎn)H（，），而點(diǎn)A（1，0）

則

即：的最小值為.