Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)C、B不重合），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)E，連接BD、CD．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△BCD的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)解析式及自變量m的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）已知M為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△MBC是以BC為直角邊的直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）； （3）（1，﹣2），（1，4）

【解析】

（1）拋物線解析式為y＝a（x＋1）（x3）＝a（x22x3），將點(diǎn)C坐標(biāo)代入即可求解；

（2）先求出直線BC的解析式，設(shè)D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），得到DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，再利用，即可求解；

（3）分MC是斜邊、MB是斜邊兩種情況，分別求解即可．

解：（1）拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x22x3），

將點(diǎn)C坐標(biāo)代入,得

-3a＝3，解得：a＝-1，

拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y＝kx+b，

∵直線BC過(guò)點(diǎn)B（3，0），C（0，3），

∴，解得，

∴y＝﹣x+3，

設(shè)D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），

∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，

∴，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值；

（3）拋物線y＝﹣x2+2x+3的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1

設(shè)點(diǎn)M（1，m），

則MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；

①當(dāng)MC是斜邊時(shí)，

1+（m﹣3）2＝m2+4+18；

解得：m＝﹣2；

②當(dāng)MB是斜邊時(shí)，

同理可得：m＝4，

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（1，﹣2），（1，4）．