Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知M₁（3，2），N₁（5，﹣1），線段M₁N₁平移至線段MN處（注：M₁與M，N₁與N分別為對應(yīng)點(diǎn)）．

（1）若M（﹣2，5），請直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）在（1）問的條件下，點(diǎn)N在拋物線上，求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式．
（3）在（2）問條件下，若拋物線頂點(diǎn)為B，與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)C（0，m）是y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，線段EC與線段BO相交于F，且OC：OF=2：，求m的值．
（4）在（3）問條件下，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)（即BP長為多少），將△ABP沿邊PE折疊，△APE與△PBE重疊部分的面積恰好為此時(shí)的△ABP面積的，求此時(shí)BP的長度．

Answer 1

解：（1）（0，2）。
（2）∵N（0，2）在拋物線上，∴k=2。

∴拋物線的解析式為。
（3）∵，
∴B（，0）、A（0，2）、E（，1）。
∵CO：OF=2：，
∴CO=﹣m，F(xiàn)O=m，。
∵，∴。
整理得：m²+m=0。∴m=﹣1或0 。
∵m＜0，∴m=﹣1。
（4）在Rt△ABO中，，
∴∠ABO=30°，AB=2AO=4
①當(dāng)∠BPE＞∠APE時(shí)，連接A₁B，則對折后如圖2，A₁為對折后A的所落點(diǎn)，△EHP是重疊部分。

∵E為AB中點(diǎn)，∴S_△AEP=S_△BEP=S_△ABP。
∵S_△EHP=S_△ABP，∴ =S_△EHP=S_△BHP=S_△ABP。
∴A₁H=HP，EH=HB=1。∴四邊形A₁BPE為平行四邊形。
∴BP=A₁E=AE=2。
②當(dāng)∠BPE=∠APE時(shí)，重疊部分面積為△ABP面積的一半，不符合題意。
③當(dāng)∠BPE＜∠APE時(shí)．則對折后如圖3，A₁為對折后A的所落點(diǎn)，△EHP是重疊部分。

∵E為AB中點(diǎn)，∴S_△AEP=S_△BEP=S_△ABP。
∵S_△EHP=S_△ABP，∴S_△EBH=S_△EHP=₌S_△ABP。
∴BH=HP，EH=HA₁=1。
又∵BE=EA=2，∴EHAP�！郃P=2。
在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2，
∴∠APB=90°。∴BP=。
綜上所述，BP=2或。

解析試題分析：（1）首先根據(jù)點(diǎn)M的移動(dòng)方向和單位得到點(diǎn)N的平移方向和單位，然后按照平移方向和單位進(jìn)行移動(dòng)即可：
由于圖形平移過程中，對應(yīng)點(diǎn)的平移規(guī)律相同，
由點(diǎn)M到點(diǎn)M′可知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)減5，縱坐標(biāo)加3，
故點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（5﹣5，﹣1+3），即（0，2）。
（2）將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式即可求得k值。
（3）配方后確定點(diǎn)B、A、E的坐標(biāo)，根據(jù)CO：OF=2：，用m表示出線段CO、FO和BF的長，利用得到關(guān)于m的方程，求得m的值即可。
（4）分當(dāng)∠BPE＜∠APE時(shí)、當(dāng)∠BPE=∠APE時(shí)、當(dāng)∠BPE＜∠APE時(shí)三種情況分類討論即可。