Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為8，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→A→C→B的方向以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→A→B－C的方向以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng).

（1）若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒第一次相遇？

（2）若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，且其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)．在△ABC的邊上是否存在一點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A、M、N、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間及點(diǎn)D的具體位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）經(jīng)過t=s第一次相遇. （2）運(yùn)動(dòng)了或s時(shí)，A、M、N、D四點(diǎn)能夠成平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)D在BC上，且BD=或．

【解析】

（1）設(shè)經(jīng)過t秒鐘兩點(diǎn)第一次相遇，然后根據(jù)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程+點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路程=AB+CA列方程求解即可；
（2）首先根據(jù)題意畫出圖形：如圖②，當(dāng)0≤t≤時(shí)，AN+CN=MB+CN=8；當(dāng)＜t≤4時(shí)，此時(shí)A、M、N三點(diǎn)在同一直線上，不能構(gòu)成平行四邊形；當(dāng)4＜t≤時(shí)，AN+NB=AN+AM=8；當(dāng)＜t≤8時(shí)，△BNM為等邊三角形，由BN=BM可求得t的值，可得此時(shí)M、N重合，不能構(gòu)成平行四邊形．．

（1）由題意得：3t+2t=16，解得：t=；

答：若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過t=s第一次相遇.
（2）①當(dāng)0≤t≤時(shí)，點(diǎn)M、N、D的位置如圖2所示：

∵四邊形ANDM為平行四邊形，
∴DM=AN，DM∥AN．
∴∠MDB=∠C=60°
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∴∠MDB =∠B．
∴MB=MD= AN
∴AN+CN=MB+CN=8，即：3t+2t=8，t=，
此時(shí)點(diǎn)D在BC上，且BD=（或CD=），
②當(dāng)＜t≤4時(shí)，此時(shí)A、M、N三點(diǎn)在同一直線上，不能構(gòu)成平行四邊形；
③4＜t≤時(shí)，點(diǎn)M、N、D的位置如圖所1示：

∵四邊形ANDM為平行四邊形，
∴DN=AM，AM∥DN．
∴∠NDB=∠C=60°
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C =60°．
∴∠NDB=∠B．
∴BN=ND= AM．
∴AN+NB=AN+AM=8，2t-8+3t-8=8，解得：t=，
此時(shí)點(diǎn)D在BC上，且BD=（或CD=），
④當(dāng)＜t≤8時(shí)，點(diǎn)M、N、D的位置如圖所3示：

則BN=16-2t，BM=24-3t，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠C=60°．
若MN∥AC,則∠BNM=∠A=60°, ∠BMN=∠C=60°

∴△BNM為等邊三角形，
∴BN=BM，即：16-2t =24-3t，解得t=8，此時(shí)M、N重合，不能構(gòu)成平行四邊形．
答：運(yùn)動(dòng)了或s時(shí)，A、M、N、D四點(diǎn)能夠成平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)D在BC上，且BD=或．