如圖，已知矩形的周長是20，對(duì)角線長是x．

(1)試把矩形的面積S用關(guān)于x的代數(shù)式表示；

(2)確定對(duì)角線x的取值范圍；

(3)當(dāng)x為何值時(shí)，矩形的面積最大？

答案：
解析：

　　解：

　　(1)如圖，設(shè)矩形的兩鄰邊長分別為a，b，則a＋b＝10，a2＋b2＝x2

　　∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，∴100＝x2＋2S．

　　∴S＝x2＋50

　　(2)∵x2＝a2＋b2＝a2＋(10－a)2

　　＝2a2－20a＋100＝2(a－5)2＋50，

　　∴當(dāng)a＝5時(shí)，x最小，最小值為．

　　又由三角形三邊關(guān)系，得x＜a＋b＝10．∴對(duì)角線x的取值范圍是≤x＜10．

　　(3)由(1)(2)知，當(dāng)x＝時(shí)，矩形的面積最大，最大面積為25．

　　第(3)另解1：∵S＝ab＝a(10－a)＝－a2＋10a＝－(a－5)2＋25≤25，∴當(dāng)a＝5時(shí)，S＝25，

　　即當(dāng)a＝5，b＝5，亦即x＝時(shí)，矩形的面積最大，為25．

　　另解2：由(2)得x2≥50，∴S＝x2＋50≤×50＋50＝25．其中當(dāng)x2＝50，

　　即x＝時(shí)，S最大＝25．

　　說明：本題隱含著一個(gè)著名的幾何定理：周長一定的多邊形中，以正多邊形的面積為最大．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線AC的長為10cm，連接各邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H得四邊形EFGH，則四邊形EFGH的周長為（　　）
A、20cm
B、20
2
cm
C、20
3
cm
D、25cm

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線長為5，周長為14，AD＞AB．
（1）求矩形ABCD的面積；
（2）求tan∠ADB的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

閱讀理解：給定一個(gè)矩形，如果存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，則這個(gè)矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“減半”矩形．
精英家教網(wǎng)
請(qǐng)你解決下列問題：
（1）當(dāng)矩形的長和寬分別為1，2時(shí)，它是否存在“減半”矩形？請(qǐng)作出判斷，并請(qǐng)說明理由；
（2）邊長為a的正方形存在“減半”正方形嗎？如果存在，求出“減半”正方形的邊長；如果不存在，說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=6，E在矩形ABCD的邊AD上，點(diǎn)F在矩形ABCD的邊BC上，且BF=5，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，BF的對(duì)應(yīng)線段FB′交邊AD于點(diǎn)G．

（1）判斷△EFG是何種特殊三角形，并證明你的結(jié)論．
（2）在折疊過程中，不重疊部分（陰影圖形）的周長之和p會(huì)發(fā)生變化嗎？若不變化，請(qǐng)求出p的值；若變化，請(qǐng)說明理由．
（3）當(dāng)△EFG是銳角三角形時(shí)，求AE的取值范圍．

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