Question

已知，二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象如圖所示．
（1）若二次函數(shù)的對稱軸方程為x=1，求二次函數(shù)的解析式；
（2）已知一次函數(shù)y=kx+n，點P（m，0）是x軸上的一個動點．若在（1）的條件下，過點P垂直于x軸的直線交這個一次函數(shù)的圖象于點M，交二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象于點N．若只有當1＜m＜

5

3

時，點M位于點N的上方，求這個一次函數(shù)的解析式；
（3）若一元二次方程ax²+bx+q=0有實數(shù)根，請你構造恰當?shù)暮瘮?shù)，根據(jù)圖象直接寫出q的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸方程為x=1，可得出函數(shù)經(jīng)過點（0，0）和（2，0），結(jié)合頂點坐標可得出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)題意可判斷出一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點的橫坐標分別為1和

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3

，代入二次函數(shù)解析式可求出交點坐標，代入一次函數(shù)解析式可得出k與n的值，繼而得出一次函數(shù)解析式．
（3）先根據(jù)拋物線的開口向上可知a＞0，由頂點縱坐標為-3得出b與a關系，再根據(jù)一元二次方程ax²+bx+q=0有實數(shù)根可得到關于q的不等式，求出q的取值范圍即可．

解答：解：（1）由二次函數(shù)的圖象可知：二次函數(shù)的頂點坐標為（1，-3），
∵二次函數(shù)的對稱軸方程為x=1，
∴二次函數(shù)與x軸的交點坐標為（0，0），（2，0），
于是得到方程組

a+b=-3 4a+2b=0.

，
解得：

a=3 b=-6.

，
故二次函數(shù)的解析式為 y=3x²-6x．

（2）由（1）得二次函數(shù)解析式為y=3x²-6x．
依題意可知，一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點的橫坐標分別為1和

5

3

，
由此可得交點坐標為（1，-3）和(

5

3

， -

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3

)，
將交點坐標分別代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+n中，
得

k+n=-3 5 3 k+n=- 5 3

，
解得：

k=2 n=-5

，
故一次函數(shù)的解析式為y=2x-5．

（3）一元二次方程ax²+bx+q=0有實數(shù)根，可以理解為y=ax²+bx和y=-q有交點，

可見，-q≥-3，
解得：q≤3，
故q的最大值為3．

點評：本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，第一問是常見的問題，利用待定系數(shù)法可以解決，第二問的關鍵是確定交點的坐標，第三問的關鍵是數(shù)形結(jié)合，難度較大．