Question

如圖，設⊙O的半徑為8，過圓外一點P引切線PA，切點為A，PA=6，C為圓周上一動點，PC交圓于另一點B，設PC=x，PB=y，且x＞y．
（1）試求：y關于x的函數解析式，并求出自變量x的取值范圍；
（2）若cos∠OPC=

4

5

時，求x的值．

Answer 1

分析：（1）根據切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項，得出PA²=PB•PC，即可代入求出，再根據PA≤x≤PE，求出PE即可；
（2）首先利用已知條件，運用銳角三角函數求出PF，再利用勾股定理求出FO，FC，進而求出PC的長．

解答：解：（1）連接AO，
∵PA是⊙O的切線，切點為A，PBC是⊙O的割線，
∴PA²=PB•PC，
∵PA=6，PC=x，PB=y，
∴36=xy，
整理得：y=

36

x

∵切線PA=6，PBC是⊙O的割線，
∴PA≤PC≤PE，
即PA≤x≤PE，
∴x≥6，
∵⊙O的半徑為8，∴AO=8，
∵PA=6，
∴PO=

82+62

=10；
∴PE=10+8=18，
∴6≤x≤18；

（2）過點O，作OF⊥PC于一點F，連接CO，
∵cos∠OPC=

4

5

，
∴cos∠OPC=

PF

PO

=

4

5

，
∵PO=10，
∴

PF

10

=

4

5

，
∴PF=8，
在Rt△PFO中，
∴FO=

PO2-PF2

=

102-82

=6，
∵CO=8，FO=6，
∴CF=

82-62

=2

7

，
∴PC=x=PF+CF=8+2

7

．

點評：此題主要考查了切割線定理以及銳角三角函數和勾股定理的應用等知識，此題用到常用輔助線過圓心連接切點以及過圓心向弦作垂線等，基本思路都是構建直角三角形，利用勾股定理求出．