【題目】(1)我國著名的數(shù)學家趙爽,早在公元3世紀,就把一個矩形分成四個全等的直角三角形,用四個全等的直角三角形拼成丁一個大的正方形(如圖1),這個矩形稱為趙爽弦圖,驗證了一個非常重要的結論:在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關系式a2+b2=c2,稱為勾股定理.
證明:∵大正方形面積表示為S=c2,,又可表示為S=4×ab+(b-a)2,
∴4×ab+(b-a)2=c2.
∴______________
即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
(2)愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形(如圖2),也能驗證這個結論,請你幫助小明完成驗證的過程.
(3)如圖3所示,∠ABC=∠ACE=90°,請你添加適當?shù)妮o助線,證明結論a2+b2=c2.
【答案】(1);(2)答案見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1)通過化簡即可證得;(2)根據(jù)四個全等的直角三角形的面積+陰影部分小正方形的面積=大正方形的面積,代入數(shù)值,即可證明;(3)作輔助線,構建矩形,根據(jù)矩形的面積可得結論.
解答:證明:(1)∵大正方形面積表示為S=,又可表示為S=4×,
∴4×=.
∴,
∴,
即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
故答案為:;
(2)證明:由圖得,大正方形面積=×ab×4+=(a+b)×(a+b),
整理得,,
即 ;
(3)如圖,過A作AF⊥AB,過E作EF⊥AF于F,交BC的延長線于D,則四邊形ABDF是矩形,
∵△ACE是等腰直角三角形,
∴AC=CE=c,∠ACE=90°=∠ACB+∠ECD,
∵∠ACB+∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠ECD,
∵∠B=∠D=90°,
∴△ABC≌△CDE(AAS),
∴CD=AB=b,DE=BC=a,
S矩形ABDF=b(a+b)=2× ,
∴.
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【題目】△ABC中,點O是AC邊上一個動點,過點O作直線MN∥BC,設MN交∠BCA的平分線于E,交∠DCA的平分線于點F.
(1)求證:EO=FO;
(2)當點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形?并證明你的結論.
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【題目】如圖,將直角三角形ABC沿著BC方向平移 cm得到直角三角形DEF,AB=5cm,BC=8cm,DH=2cm,那么圖中陰影部分的面積為____ cm 2.
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【題目】某天,小王去朋友家借書,在朋友家停留一段時間后,返回家中,如圖是他離家的路程(千米)與時間(分)的關系的圖象,根據(jù)圖象信息,下列說法正確的是( )
A. 小王去時的速度大于回家的速度B. 小王在朋友家停留了10分鐘
C. 小王去時所花時間少于回家所花時間D. 小王去時走上坡路施,回家時走下坡路
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【題目】現(xiàn)如今,通過“微信運動“發(fā)布自己每天行走的步數(shù),已成為一種時尚,“健身達人”小華為了了解他的微信朋友圈里大家的“建步走運動“情況,隨機抽取了20名好友一天行走的步數(shù),記錄如下:
5640 | 6430 | 6320 | 6798 | 7325 | 8430 | 8215 | 7453 | 7446 | 6754 |
7638 | 6834 | 7325 | 6830 | 8648 | 8753 | 9450 | 9865 | 7290 | 7850 |
對這20個數(shù)據(jù)按組距1000進行分組,并統(tǒng)計整理,繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖表:
組別 | 步數(shù)分組 | 頻數(shù) |
A | 5500≤x<6500 | 2 |
B | 6500≤x<7500 | 10 |
C | 7500≤x | m |
D | 8500≤x<9500 | 2 |
E | 9500≤x<10500 | n |
請根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)填空:m= ,n= .
(2)補全頻數(shù)分布直方圖.
(3)根據(jù)以上統(tǒng)計結果,第二天小華隨機查看一名好友行走的步數(shù),試估計該好友的步數(shù)不低于7500步(含7500步)的概率.
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【題目】如圖,△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分線交 AB 于點 D,交 CA 的延長線于點 E,∠EBC=42°,則 ∠BAC=( )
A. 159° B. 154° C. 152° D. 138°
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【題目】如圖,AD為等邊△ABC的高,E、F分別為線段AD、AC上的動點,且AE=CF,當BF+CE取得最小值時,∠AFB=( 。
A. 112.5°B. 105°C. 90°D. 82.5°
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【題目】如圖,已知△BAD≌△BCE,∠BAD=∠BCE=90°,∠ABD=∠BEC=30°,點 M 為 DE的中點,過點E與AD平行的直線交射線AM于點 N.
(1)如 圖 1,當 A、B、E三點在同一直線上時,
①求證:△MEN≌△MDA;
②判斷 AC與 CN數(shù)量關系為_______,并說明理由.
(2)將圖 1 中△BCE繞 點 B 逆時針旋轉一周,旋轉過程中△CAN 能否為等腰直角三角形?若能,直接寫出旋轉角度;若不能,說明理由.
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【題目】2008年8月第29屆奧運會將在北京開幕,5個城市的國際標準時間(單位:時)在數(shù)軸上表示如圖所示,那么北京時間2008年8月8日20時應是( )
A. 倫敦時間2008年8月8日11時
B. 巴黎時間2008年8月8日13時
C. 紐約時間2008年8月8日5時
D. 漢城時間2008年8月8日19時
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