Question

【題目】如圖，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，得到正方形AEGF(AE＝EG＝GF＝AF,∠EAF＝∠E＝∠F＝∠G=90°)．

(1) 若AD＝6，BD＝2，求CG的長．

(2) 設BG＝a,CG＝b,BC＝c.

①AE=_______.(用a、b、c表示)

②利用正方形面積驗證勾股定理．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①；②詳見解析.

【解析】

（1）由折疊性質可得：AD=AE=6,BD=BE=2,CD=CF,AD=AE=AF,再根據(jù)勾股定理，在直角三角形BCG中求解；（2）①根據(jù)折疊性質得：AE=；②根據(jù)正方形面積=SBCG+ 2SABD+ 2SACD可得.

解：（1）由折疊性質可得：AD=AE=6,BD=BE=2,CD=CF,AD=AE=AF,

設CG=x，

因為四邊形AEGF是正方形，

所以GE=AE=AD=GF=6,CD=6-x

在直角三角形BCG中，

由BG2+CG2=BC2，得

42+x2=（2+6-x）2

解得x=3

所以CG=3;

（2）①由（1）可得AE=EG=GF,EG=BE+BG=BD+BG;GF=CG+CF=CG+CD;

所以AE=；

②由正方形面積=SBCG+ 2SABD+ 2SACD可得

整理，得