Question

【題目】如圖1，已知直線y=3x分別與雙曲線y=、y=（x＞0）交于P、Q兩點(diǎn)，且OP=2OQ．

（1）求k的值．

（2）如圖2，若點(diǎn)A是雙曲線y= 上的動點(diǎn)，AB∥x軸，AC∥y軸，分別交雙曲線y=（x＞0）于點(diǎn)B、C，連接BC．請你探索在點(diǎn)A運(yùn)動過程中，△ABC的面積是否變化？若不變，請求出△ABC的面積；若改變，請說明理由；

（3）如圖3，若點(diǎn)D是直線y=3x上的一點(diǎn)，請你進(jìn)一步探索在點(diǎn)A運(yùn)動過程中，以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）P（2,6） Q(1,3)，k=3；（2）在點(diǎn)A運(yùn)動過程中，△ABC的面積不變，始終等于．

（3）當(dāng)點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，）或（2，6）或（，6）．

【解析】（1）先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再從條件OP=2OQ出發(fā)，構(gòu)造相似三角形，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，就可以求出k的值.

（2）設(shè)點(diǎn)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,b），易得b=，結(jié)合條件可用a的代數(shù)式表示點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出線段AB，AC的長，就可算出△BAC的面積是一個(gè)定值.

（3）以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形可分成兩類：①AC為平行四邊形的一邊，②AC為平行四邊形的對角線；然后利用平行四邊形的性質(zhì)建立關(guān)于a的方程，即可求出a的值，從而求出點(diǎn)A的坐標(biāo).

（1）P（2,6） Q(1,3)，k=3.

（2）如圖2，

∴S△ABC=ABAC=××.

∴在點(diǎn)A運(yùn)動過程中，△ABC的面積不變，始終等于．

（3）①AC為平行四邊形的一邊，

Ⅰ．當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)Q的右邊時(shí)，如圖3，

∵四邊形ACBD是平行四邊形，∴AC∥BD，AC=BD．∴xD=xB=．

∴yD=3xD=．∴DB=.

∵AC=，∴=．解得：a=±2．

經(jīng)檢驗(yàn)：a=±2是該方程的解．∵a＞0，∴a=2．∴b=.

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，）．

Ⅱ．當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)Q的左邊且點(diǎn)C在點(diǎn)Q的右邊時(shí)，如圖4，

∵四邊形ACDB是平行四邊形，∴AC∥BD，AC=BD．

∴xD=xB=．∴yD=3xD=．∴DB=.

∵AC=，∴=，解得：a=±2．

經(jīng)檢驗(yàn)：a=±2是該方程的解．

∵a＞0，∴a=2．∴b==6．

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，6）．

②AC為平行四邊形的對角線，

此時(shí)點(diǎn)B、點(diǎn)C都在點(diǎn)Q的左邊，如圖5，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB=CD．∴yD=yC=．∴xD=．

∴CD=﹣a．∵AB=a﹣，∴=﹣a．

解得：a=±．

經(jīng)檢驗(yàn)：a=±是該方程的解．

∵a＞0，∴a=．∴b==6．

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，6）．

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，）或（2，6）或（，6）．