(2012•豐臺(tái)區(qū)二模)已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=-x的圖象與反比例函數(shù)y=
kx
的圖象交于A、B兩點(diǎn).
(1)求k的值;
(2)如果點(diǎn)P在y軸上,且滿足以點(diǎn)A、B、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
分析:(1)首先求出A點(diǎn)坐標(biāo),再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=
k
x
即可得到k的值;
(2)BD⊥y軸,AC⊥y軸,如圖,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,y),先根據(jù)對(duì)稱得到B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),再根據(jù)勾股定理得到AB2=22+22=8,PB2=PD2+BD2=(y+1)2+12,PA2=PC2+AC2=(y-1)2+12,然后分類討論:當(dāng)△APB是以AB為斜邊的直角三角形,則PB2+PA2=AB2;當(dāng)△APB是以PB為斜邊的直角三角形,則AB2+PA2=PB2;當(dāng)△APB是以PA為斜邊的直角三角形,AB2+PB2=PA2,分別得到關(guān)于y的方程,解方程求出y的值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)∵一次函數(shù)y=-x的圖象與反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象交于A、B兩點(diǎn),
根據(jù)圖象可得出A點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1,代入一次函數(shù)解析式,
∴y=-(-1)=1,
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為:(-1,1),
∵反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,1),
∴k=-1×1=-1;

(2)作BD⊥y軸,AC⊥y軸,如圖,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,y),
∵點(diǎn)A與B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),
∴AB2=22+22=8,PB2=PD2+BD2=(y+1)2+12,PA2=PC2+AC2=(y-1)2+12,
分類:當(dāng)△APB是以AB為斜邊的直角三角形,則PB2+PA2=AB2,
∴PB2+PA2=AB2,即(y+1)2+12+(y-1)2+12=8,解得y=±
2
;
當(dāng)△APB是以PB為斜邊的直角三角形,
∴AB2+PA2=PB2,即(y+1)2+12=(y-1)2+12+8,解得y=2;
當(dāng)△APB是以PA為斜邊的直角三角形,
∴AB2+PB2=PA2,即(y-1)2+12=(y+1)2+12+8,解得y=-2;
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,
2
)、(0,-
2
)、(0,2)、(0,-2).
點(diǎn)評(píng):本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題:反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式.也考查了勾股定理以及分類討論思想的運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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2
1
f(2)=1+
2
2
,f(3)=1+
2
3
f(4)=1+
2
4
,…,
利用以上運(yùn)算的規(guī)律寫出f(n)=
1+
2
n
1+
2
n
(n為正整數(shù));f(1)•f(2)•f(3)…f(100)=
5151
5151

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