Question

已知：直角梯形AOBC在平面直角坐標系中的位置如圖，若AC∥OB，OC平分∠AOB，CB⊥x軸于B，點A坐標為(3 ，4). 點P從原點O開始以2個單位/秒速度沿x軸正向運動 ；同時，一條平行于x軸的直線從AC開始以1個單位/秒速度豎直向下運動 ，交OA于點D，交OC于點M，交BC于點E. 當點P到達點B時，直線也隨即停止運動.

（1）求出點C的坐標；

（2）在這一運動過程中, 四邊形OPEM是什么四邊形？請說明理由。若

用y表示四邊形OPEM的面積 ，直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及t的

范圍；并求出當四邊形OPEM的面積y的最大值？

（3）在整個運動過程中，是否存在某個t值，使⊿MPB為等腰三角形？

若有，請求出所有滿足要求的t值.

 

Answer 1

【答案】

（1）點C的坐標是（8，5）（2）四邊形OPEM是平行四邊形，理由見解析；，y=8

（3）

【解析】（1）點C的坐標是（8，5）；

    （2）四邊形OPEM是平行四邊形.理由：

由題意：OP=2t，

由OC平分∠AOB，AC∥OB，易得：

DM=OD，

延長CA與y軸相交于點L，過點D作

AC的垂線，交AC于H，交OB于K.

則⊿ADH∽⊿ODK∽⊿AOL，

由題意：DH=t,DK=4-t，

DM=OD=5-5/4t，AH=3/4t，DE=HC=5+3/4t,

∴ME=DE-DM=（5+3/4t）-（5-5/4t）=2t，

∴ME=OP，且ME∥OP，∴四邊形OPEM是平行四邊形;

平行四邊形OPEM的面積：

當t=2時，OPEM面積最大值：y=8.

（3）分類討論如下：

�。喝鬚M=BM，由題意：BR=ME=2t，

   PR=OB-BR-OP=8-4t，

 此時PR=BR，即2t=8-4t，t=4/3；

ⅱ：若PM=PB，由題意：PB=8-2t，

   PM=8-2t，MR=4－t，PR=8-4t，

在RT⊿PMR中，

解得：

都符合題意；

 

ⅲ：若BM=BP，由題意：PB=8-2t，

   BR=ME=2t，MR=BE=4-t，

在RT⊿BMR中，

  

∴符合題意的t值共四個：

本試題主要是考查了點的坐標的求解，以及四邊形形狀的確定和四邊形的面積的求解的綜合運用。同時要分析得到使⊿MPB為等腰三角形的參數(shù)t的值。關(guān)鍵是基于對點的運動的理解和表示

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