Question

【題目】對某一個函數(shù)給出如下新定義：若存在實數(shù)M>0，對于任意的函數(shù)值y，都滿足－M≤y≤M，則稱這個函數(shù)是存界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的界值。例如，下圖中的函數(shù)是存界函數(shù)，其界值是1。

（1）分別判斷函數(shù)（x>－1）和（－4<x≤2）是不是存界函數(shù)?若是存界函數(shù)求其界值；

（2）若函數(shù)（a≤x≤b，b>a）的界值是2，且這個函數(shù)的最大值也是2，求b的取值范圍：

（3）將函數(shù)（－1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個單位，得到的函數(shù)的界值是t，若使≤t≤1，則直接寫出m的取值范圍是_____________________________。

Answer 1

【答案】（1）函數(shù) （x>－1）不是存界函數(shù)，y=x+1（－4≤x≤2）是存界函數(shù)，界值為： 3；（2）－1<b≤3；（3）0≤m≤或≤m≤1.

【解析】

（1）（1）根據(jù)存界函數(shù)和界值的定義即可得出；
（2）根據(jù)函數(shù)的增減性、界值確定a=-1；然后由“函數(shù)的最大值也是2”來求b的取值范圍；
（3）需要分類討論：m＜1和m≥1兩種情況．由函數(shù)解析式得到該函數(shù)圖象過點（-1，1）、（0，0），根據(jù)平移的性質(zhì)得到這兩點平移后的坐標分別是（-1，1-m）、（0，-m）；最后由函數(shù)界值的定義列出不等式≤1，-m≤1-m≤1或-1≤-m≤-，易求m取值范圍：0≤m≤或≤m≤1．

解：（1）根據(jù)存界函數(shù)的定義知，函數(shù)（x>－1）不是存界函數(shù)．

y=x+1（－4≤x≤2）是存界函數(shù)，界值為：2+1=3；

（2）∵函數(shù)y=－x+l的圖象是y隨x的增大而減小，

∴當x=a時，y=－a+1=2，則a=－1

當x=b時，y=－b+1，則，

∴－1<b≤3；

（3）若m＞1，函數(shù)向下平移m個單位后，x=0時，函數(shù)值小于-1，此時函數(shù)的邊界t＞1，與題意不符，故m≤1．
當x=-1時，y=1 即過點（-1，1）
當x=0時，y最小=0，即過點（0，0），
都向下平移m個單位，則
（-1，1-m）、（0，-m）≤1-m≤1或-1≤-m≤-，
∴0≤m≤或≤m≤1．