【題目】在中,,,點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)(不與,重合).
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn),過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn),求證:;
(2)連接,作,交于點(diǎn).若時(shí),如圖2.
①______;
②求證:為等腰三角形;
(3)連接CD,∠CDE=30°,在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,請求出的度數(shù);若不可以,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)①120°;②證明見解析;(3)可以是等腰三角形,此時(shí)的度數(shù)為或.
【解析】
(1)先證明△ACD與△BFD全等,即可得出結(jié)論;
(2)①先根據(jù)等邊對等角及三角形的內(nèi)角和求出∠B的度數(shù),再由平行線的性質(zhì)可得出∠ADE的度數(shù),最后根據(jù)平角的定義可求出∠CDB的度數(shù);②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可得出∠A=∠EDA,從而可得出結(jié)論;
(3)先假設(shè)△ECD可以是等腰三角形,再分以下三種情況:I.當(dāng)時(shí),;II.當(dāng)時(shí),;III.當(dāng)時(shí),,然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和以及三角形外角的性質(zhì)求解即可.
(1)證明:,是的中線,
.
,.
,
,
;
(2)①解:∵AC=BC,∠ACB=120°,
∴∠A=∠B=(180°-120°)÷2=30°,
又DE∥BC,
∴∠ADE=∠B=30°,
∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=120°,
故答案為:;
②證明:,.
,.
,
為等腰三角形.
(3)解:可以是等腰三角形,理由如下:
I.當(dāng)時(shí),,如圖3,
.
,
.
II.當(dāng)時(shí),,如圖4,
,
.
.
III.當(dāng)時(shí),.
∴,
,
此時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)重合,不合題意.
綜上所述,可以是等腰三角形,此時(shí)的度數(shù)為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的動(dòng)點(diǎn),且AE=BF=CG=DH.
(1)求證:△AEH≌△CGF;
(2)在點(diǎn)E、F、G、H運(yùn)動(dòng)過程中,判斷直線EG是否經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn),如果是,請證明你的結(jié)論;如果不是,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長都為1,網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC(即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上)
(1)△ABC的面積為 ;
(2)在圖中作出△ABC關(guān)于直線MN的對稱圖形△A'B'C';
(3)在MN上找一點(diǎn)P,使得PB+PC的距離最短,這個(gè)最短距離為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:關(guān)于x的方程
(1)當(dāng)m取何值時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?
(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為,當(dāng)時(shí),求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題探究
(1)如圖1,已知銳角△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,當(dāng)線段AD最短時(shí),請你在圖中畫出點(diǎn)D的位置.
圖1
(2)若一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在一個(gè)三角形的三條邊上;則稱這個(gè)四邊形為該三角形的內(nèi)接四邊形.
如圖2,在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,∠B=90°.矩形BEFG是△ABC的內(nèi)接矩形,若EF=2,則矩形BEFG的面積為_________
如圖3,在△ABC中,AB=,BC=8,∠B=45°,矩形DEFG是△ABC的一個(gè)內(nèi)接矩形且D、E在邊BC上.若EF=2,求矩形DEFG的面積;
圖2 圖3
問題解決:
(3)如圖4,△ABC是一塊三角形木板余料,AB=6,BC=8,∠B=30°,木匠師傅想利用它裁下一塊矩形DEFG木塊,矩形DEFG是△ABC的一個(gè)內(nèi)接矩形且D、E在邊BC上,請?jiān)趫D4中畫出對角線DF最短的矩形DEFG,請說明理由,并求出此時(shí)DF的長度.
圖4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線,過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)F,交CB于點(diǎn)E,且∠EAB=∠DCB.
(1)求∠B的度數(shù):
(2)求證:BC=3CE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD中,已知∠BAD=120°,∠EGF=60°, ∠EGF的頂點(diǎn)G在菱形對角線AC上運(yùn)動(dòng),角的兩邊分別交邊BC、CD于E、F.
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(1)如圖甲,當(dāng)頂點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí),求證:EC+CF=BC;
(2)知識探究:
①如圖乙,當(dāng)頂點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),請直接寫出線段EC、CF與BC的數(shù)量關(guān)系(不需要寫出證明過程);
②如圖丙,在頂點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的過程中,若,探究線段EC、CF與BC的數(shù)量關(guān)系;
(3)問題解決:如圖丙,已知菱形的邊長為8,BG=7,CF=,當(dāng)>2時(shí),求EC的長度。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=-x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.
(1)求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸;
(2)連接BC,與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m;
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長,并求出當(dāng)m為何值時(shí),四邊形PEDF為平行四邊形?
②設(shè)△BCF的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,S是否有最大值?如有,請求出最大值,沒有請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在第四象限,點(diǎn)B在x軸正半軸上,在△OAB中,∠OAB=90°,AB=AO=6,點(diǎn)P為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A和點(diǎn)O重合),過點(diǎn)P作OA的垂線交x軸于點(diǎn)C,以點(diǎn)C為正方形的一個(gè)頂點(diǎn)作正方形CDEF,使得點(diǎn)D在線段CB上,點(diǎn)E在線段AB上.
(1)①求直線AB的函數(shù)表達(dá)式.
②直接寫出直線AO的函數(shù)表達(dá)式 ;
(2)連接PF,在Rt△CPF中,∠CFP=90°時(shí),請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ;
(3)在(2)的前提下,直線DP交y軸于點(diǎn)H,交CF于點(diǎn)K,在直線OA上存在點(diǎn)Q.使得△OHQ的面積與△PKE的面積相等,請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo) .
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