如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P為函數(shù)y=
1
4
x2在第一象限內(nèi)的圖象上的任一點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),直線l過(guò)B(0,-1)且與x軸平行,過(guò)P作y軸的平行線分別交x軸,l于C,Q,連接AQ交x軸于H,直線PH交y軸于R.
(1)求證:H點(diǎn)為線段AQ的中點(diǎn);
(2)求證:①四邊形APQR為平行四邊形;②平行四邊形APQR為菱形;
(3)除P點(diǎn)外,直線PH與拋物線y=
1
4
x2有無(wú)其它公共點(diǎn)并說(shuō)明理由.
(1)證明:∵A(0,1),B(0,-1),
∴OA=OB.(1分)
又∵BQx軸,
∴HA=HQ;(2分)

(2)證明:①由(1)可知AH=QH,∠AHR=∠QHP,
∵ARPQ,
∴∠RAH=∠PQH,
∴△RAH≌△PQH.(3分)
∴AR=PQ,
又∵ARPQ,
∴四邊形APQR為平行四邊形.(4分)
②設(shè)P(m,
1
4
m2),
∵PQy軸,則Q(m,-1),則PQ=1+
1
4
m2
過(guò)P作PG⊥y軸,垂足為G.
在Rt△APG中,AP=
AG2+PG2
=
(
1
4
m2-1)
2
+m2
=
(
1
4
m2+1)
2
=
1
4
m2
+1=PQ,
∴平行四邊形APQR為菱形;(6分)

(3)設(shè)直線PR為y=kx+b,
由OH=CH,得H(
m
2
,0),P(m,
1
4
m2).
代入得:
m
2
k+b=0
km+b=
1
4
m2
,
k=
m
2
b=-
1
4
m2

∴直線PR為y=
m
2
x-
1
4
m2
.(7分)
設(shè)直線PR與拋物線的公共點(diǎn)為(x,
1
4
x2),代入直線PR關(guān)系式得:
1
4
x2-
m
2
x+
1
4
m2=0,
1
4
(x-m)2=0,
解得x=m.得公共點(diǎn)為(m,
1
4
m2).
所以直線PH與拋物線y=
1
4
x2只有一個(gè)公共點(diǎn)P.(8分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖在平面直角坐標(biāo)系中,將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限,且斜靠在兩坐標(biāo)軸上,且點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)C(-1,0),如圖所示點(diǎn)B在拋物線y=ax2+ax-2上.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)將三角板ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到達(dá)△AB′C′的位置,請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)B′坐標(biāo)______,點(diǎn)C′坐標(biāo)______;判斷點(diǎn)B′______,C′______(填“在”或“不”)在(2)中的拋物線上.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B(5,0),另一個(gè)交點(diǎn)為A,且與y軸交于點(diǎn)C(0,5).
(1)求直線BC與拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MNy軸交直線BC于點(diǎn)N,求MN的最大值;
(3)在(2)的條件下,MN取得最大值時(shí),若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn),以BC為邊作平行四邊形CBPQ,設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1,△ABN的面積為S2,且S1=6S2,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=(1-m)x2+4x-3開(kāi)口向下,與x軸交于A(x1,0)和B(x2,0)兩點(diǎn),其中x1<x2
(1)求m的取值范圍;
(2)若x12+x22=10,求拋物線的解析式,并在給出的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這條拋物線;
(3)設(shè)這條拋物線的頂點(diǎn)為C,延長(zhǎng)CA交y軸于點(diǎn)D.在y軸上是否存在點(diǎn)P,使以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B(4,0),以AB為直徑的半圓交y軸正半軸于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)求過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(3)在(2)的條件下,若在拋物線上有一點(diǎn)D,使四邊形BOCD為直角梯形,求直線BD的解析式;
(4)設(shè)點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MN⊥y軸,交y軸于點(diǎn)N.若在線段AB上有且只有一點(diǎn)P,使∠MPN為直角,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

一座隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成,長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為8m,寬為2m,隧道最高點(diǎn)P位于AB的中央且距地面6m,建立如圖所示的坐標(biāo)系.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)一輛貨車(chē)高4m,寬2m,能否從該隧道內(nèi)通過(guò),為什么?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

用長(zhǎng)6米的鋁合金條制成如圖所示的矩形窗框,則這個(gè)窗戶的最大透光面積為_(kāi)_____米2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

某拋物線型拱橋的示意圖如圖,已知該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-
1
48
x2+12
,為保護(hù)該橋的安全,在該拋物線上的點(diǎn)E、F處要安裝兩盞警示燈(點(diǎn)E、F關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)),這兩盞燈的水平距離EF是24米,則警示燈F距水面AB的高度是______米.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

如圖,已知拋物線y=
1
6
x2-
1
6
(b+1)x+
b
6
(b是實(shí)數(shù)且b>2)與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.若在第一象限內(nèi)存在點(diǎn)P,使得四邊形PCOB的面積等于7
2
b
,且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.求:
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_____.
(2)求符合要求的點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi)_____.

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