Question

兩個(gè)大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如圖①擺放，使直角頂點(diǎn)重合．將圖①中△DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到圖②，點(diǎn)F、G分別是CD、DE與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)H是DE與AC的交點(diǎn)．
（1）不添加輔助線(xiàn)，寫(xiě)出圖②中所有與△BCF全等的三角形；
（2）將圖②中的△DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得△D₁E₁C，點(diǎn)F、G、H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為F₁、G₁、H₁，如圖③．探究線(xiàn)段D₁F₁與AH₁之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程；
（3）在（2）的條件下，若D₁E₁與CE交于點(diǎn)I，求證：G₁I=CI．

Answer 1

（1）圖②中與△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH．

（2）D₁F₁=AH₁，
證明：∵在△AF₁C與△D₁H₁C中，

∠A=∠D1=30° CA=CD1 ∠F1CH1=∠F1CH1

，
∴△AF₁C≌△D₁H₁C．
∴F₁C=H₁C，又CD₁=CA，
∴CD₁-F₁C=CA-H₁C．
即D₁F₁=AH₁；

（3）連接CG₁．
在△D₁G₁F₁和△AG₁H₁中，
∵

∠D1=∠A ∠D1G1F1=∠AG1 D1F1=AH1

H1，
∴△D₁G₁F₁≌△AG₁H₁．
∴G₁F₁=G₁H₁，
又∵H₁C=F₁C，G₁C=G₁C，
∴△CG₁F₁≌△CG₁H₁．
∴∠1=∠2．
∵∠B=60°，∠BCF=30°，
∴∠BFC=90°．
又∵∠DCE=90°，
∴∠BFC=∠DCE，
∴BA∥CE，
∴∠1=∠G₁CE，
∴∠2=∠G₁CE，
∴G₁I=CI．