Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB﹣BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在AB上以每秒8個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，在BC上以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以每秒個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）求線段AQ的長；（用含t的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求PQ與△ABC的一邊垂直時(shí)t的值；

（3）設(shè)△APQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（4）當(dāng)△APQ是以PQ為腰的等腰三角形時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）4﹣t；（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ與△ABC的一邊垂直時(shí)t的值是t=0或或；（3）S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=；（4）t的值為或．

【解析】分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AC的長，然后由AQ=AC-CQ求解即可；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ與△ABC的一邊垂直，有三種情況：當(dāng)Q在C處，P在A處時(shí)，PQ⊥BC；當(dāng)PQ⊥AB時(shí)；當(dāng)PQ⊥AC時(shí)；分別求解即可；

（3）當(dāng)P在AB邊上時(shí)，即0≤t≤1，作PG⊥AC于G，或當(dāng)P在邊BC上時(shí)，即1＜t≤3，分別根據(jù)三角形的面積求函數(shù)的解析式即可；

（4）當(dāng)△APQ是以PQ為腰的等腰三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)P在邊AB上時(shí)，作PG⊥AC于G，則AG=GQ，列方程求解；②當(dāng)P在邊AC上時(shí)， AQ=PQ，根據(jù)勾股定理求解.

詳解：（1）如圖1，

Rt△ABC中，∠A=30°，AB=8，

∴BC=AB=4，

∴AC=，

由題意得：CQ=t，

∴AQ=4﹣t；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ與△ABC的一邊垂直，有三種情況：

①當(dāng)Q在C處，P在A處時(shí)，PQ⊥BC，此時(shí)t=0；

②當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，如圖2，

∵AQ=4﹣t，AP=8t，∠A=30°，

∴cos30°=，

∴，

t=；

③當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，如圖3，

∵AQ=4﹣t，AP=8t，∠A=30°，

∴cos30°=，

∴

t=；

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ與△ABC的一邊垂直時(shí)t的值是t=0或或；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)P在AB邊上時(shí)，即0≤t≤1，如圖4，作PG⊥AC于G，

∵∠A=30°，AP=8t，∠AGP=90°，

∴PG=4t，

∴S△APQ=AQPG=（4﹣t）4t=﹣2t2+8t；

②當(dāng)P在邊BC上時(shí)，即1＜t≤3，如圖5，

由題意得：PB=2（t﹣1），

∴PC=4﹣2（t﹣1）=﹣2t+6，

∴S△APQ=AQPC=（4﹣t）（﹣2t+6）=t2；

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=；

（4）當(dāng)△APQ是以PQ為腰的等腰三角形時(shí)，有兩種情況：

①當(dāng)P在邊AB上時(shí)，如圖6，

AP=PQ，作PG⊥AC于G，則AG=GQ，

∵∠A=30°，AP=8t，∠AGP=90°，

∴PG=4t，

∴AG=4t，

由AQ=2AG得：4﹣t=8t，t=，

②當(dāng)P在邊AC上時(shí)，如圖7，AQ=PQ，

Rt△PCQ中，由勾股定理得：CQ2+CP2=PQ2，

∴，

t=或﹣（舍），

綜上所述，t的值為或．