【題目】我們定義:如圖1,在中,把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接.當(dāng)時(shí),我們稱的“旋補(bǔ)三角形”,上的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”.

(特例感知)

1)在圖2,圖3中,的“旋補(bǔ)三角形”,的“旋補(bǔ)中線”.

①如圖2,當(dāng)為等邊三角形,且時(shí),則長為

②如圖3,當(dāng),且時(shí),則長為

(猜想論證)

2)在圖1中,當(dāng)為任意三角形時(shí),猜想的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.(如果你沒有找到證明思路,可以考慮延長或延長,……)

(拓展應(yīng)用)

3)如圖4,在四邊形中,,,以為邊在四邊形內(nèi)部作等邊,連接.若的“旋補(bǔ)三角形”,請(qǐng)直接寫出的“旋補(bǔ)中線”長及四邊形的邊長.

【答案】1)①,②;(2,見解析;(3,

【解析】

(1)①由旋補(bǔ)三角形的概念可證明ADB′是含有30°是直角三角形,可得AD=BC即可解決問題;

②首先證明BAC≌△B′AC′,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題;

2)結(jié)論:AD=BC.如圖1中,延長ADQ,使得AD=DQ,連接B′Q,C′Q,首先證明四邊形AC′QB′是平行四邊形,再證明BAC≌△AB′Q,即可解決問題;

3)由,是等邊三角形可得,由旋補(bǔ)三角形的概念可得,PB=PA,進(jìn)而求出PB的長,再根據(jù)勾股定理就可求出BC的長,由(2)的結(jié)論即可求出旋補(bǔ)中線PE的長和AD的長.

解:(1)①∵的“旋補(bǔ)三角形”,

,,

為等邊三角形,且,

,

是等腰三角形,,

AD,,

AD=3,

②∵的“旋補(bǔ)三角形”,

,,

,

,

,

,

AD為中線,

2)猜想:

如圖,延長Q,使

旋補(bǔ)中線,

四邊形是平行四邊形,

,

由定義可知,,

,,

,

3)過點(diǎn)PPEAB,取AD的中點(diǎn)F,連接PF,延長DP,過點(diǎn)AAMDM,如圖,

,△PCD是等邊三角形,

CD=6,

PC=CD=PD=6,

的“旋補(bǔ)三角形”,

,PB=PA,

PAB是等腰三角形,,

PEAB,

EB=EA

AB=12,

BE=6,

PBC中,由勾股定理得,

,

由(2)可知,,

,

,

,

,,

MD=12,

AMD中,由勾股定理得,

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