Question

【題目】如圖，已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（﹣2，﹣3）在拋物線上，

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求出PA+PD的最小值；

（3）若拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M（點(diǎn)C除外），使△ABM的面積等于△ABC的面積，求M點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）PA+PD的最小值是3；（3）（﹣1﹣，3），（﹣1+，3）或（﹣2，3）．

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)D（-2，-3），可以求得該函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)題意和軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題可以求得PA+PD的最小值；

（3）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而可以求得△ABC的面積，進(jìn)而得到△ABM的面積，從而可以求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)D（﹣2，﹣3），

∴，得，

即二次函數(shù)的解析式為y＝x2+2x﹣3；

（2）∵y＝x2+2x﹣3，

∴y＝0時(shí)，x＝﹣3或x＝1，

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），

連接BD交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，

∵PA＝PB，

∴PA+PD的最小值是線段BD的長(zhǎng)，

∵點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)D（﹣2，﹣3），

∴BD＝，

∴PA+PD的最小值是3；

（3）∵y＝x2+2x﹣3，

∴x＝0時(shí)，y＝﹣3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，a2+2a﹣3），

∵△ABM的面積等于△ABC的面積，點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)C（0，﹣3），

△ABC的面積是：，

∴=6，

∴|a2+2a﹣3|＝3，

解得，a1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+，a3＝﹣2，a4＝0（舍去），

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1﹣，3），（﹣1+，3）或（﹣2，3）．