【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中,點(diǎn)O為AD上一動(dòng)點(diǎn)(4<OA<8),以O(shè)為圓心,OA的長(zhǎng)為半徑的圓交邊CD于點(diǎn)M,連接OM,過點(diǎn)M作⊙O的切線交邊BC于N.

(1)求證:△ODM∽△MCN;
(2)設(shè)DM=x,求OA的長(zhǎng)(用含x的代數(shù)式表示);
(3)在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)△CMN的周長(zhǎng)為P,試用含x的代數(shù)式表示P,你能發(fā)現(xiàn)怎樣的結(jié)論?

【答案】
(1)

證明:∵M(jìn)N切⊙O于點(diǎn)M,

∴∠OMN=90°;

∵∠OMD+∠CMN=90°,∠CMN+∠CNM=90°;

∴∠OMD=∠MNC;

又∵∠D=∠C=90°;

∴△ODM∽△MCN


(2)

解:在Rt△ODM中,DM=x,設(shè)OA=OM=R;

∴OD=AD﹣OA=8﹣R,

由勾股定理得:(8﹣R)2+x2=R2,∴64﹣16R+R2+x2=R2

;


(3)

解法一:∵CM=CD﹣DM=8﹣x,

又∵ ,

且有△ODM∽△MCN,

∴代入得到 ;

同理 ,

∴代入得到

∴△CMN的周長(zhǎng)為P= =(8﹣x)+(x+8)=16.

發(fā)現(xiàn):在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過程中,△CMN的周長(zhǎng)P始終為16,是一個(gè)定值.

解法二:在Rt△ODM中, ,

設(shè)△ODM的周長(zhǎng)P′= ;

而△MCN∽△ODM,且相似比 ;

∴△MCN的周長(zhǎng)為P=

發(fā)現(xiàn):在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過程中,△CMN的周長(zhǎng)P始終為16,是一個(gè)定值.


【解析】(1)依題意可得∠OMC=∠MNC,然后可證得△ODM∽△MCN.(2)設(shè)DM=x,OA=OM=R,OD=AD﹣OA=8﹣R,根據(jù)勾股定理求出OA的值.(3)由1可求證△ODM∽△MCN,利用線段比求出CN,MN的值.然后可求出△CMN的周長(zhǎng)等于CM+CN+MN,把各個(gè)線段消去代入可求出周長(zhǎng).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(4)如果空氣污染達(dá)到中度污染或者以上,將不適宜進(jìn)行戶外活動(dòng),根據(jù)目前的統(tǒng)計(jì),請(qǐng)你估計(jì)2015年該城市有多少天不適宜開展戶外活動(dòng).(2015年共365天)

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對(duì)象
人數(shù)
態(tài)度

贊成

無所謂

反對(duì)

學(xué)生

80

30

90

家長(zhǎng)

40

80

A


根據(jù)以上圖表信息,解答下列問題:
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