Question

（1）對(duì)于每個(gè)非零自然數(shù)n，拋物線y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸交于A_n，B_n兩點(diǎn)，以A_n，B_n表示這兩點(diǎn)間的距離，則A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₀B₂₀₁₀的值是

 

．
（2）如圖，以正方形ABCD的邊CD為直徑作⊙O，以頂點(diǎn)C為圓心、邊CD為半徑作BD，E為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CD、CE的長(zhǎng)恰為方程x2-2(

3

+1)x+4

3

=0的兩根，其中CD＜CE，連接DE交⊙O于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

分析：（1）首先利用因式分解求得拋物線y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸交于A_n，B_n兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入數(shù)值計(jì)算解決問題；
（2）首先解方程x2-2(

3

+1)x+4

3

=0，求得CD、CE的長(zhǎng)，進(jìn)一步分割圖形，利用銳角三角函數(shù)、扇形的面積、三角形的面積計(jì)算方法求得問題的解．

解答：解：如圖，
（1）因?yàn)閽佄锞�y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸交于A_n，B_n兩點(diǎn)，
令y=0得，x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0，
即（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）=0，
解得x₁=

1

n

，x₂=

1

n+1

，
可令A(yù)_n=

1

n

，B_n=

1

n+1

；
則A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₀B₂₀₁₀=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2010

-

1

2011

，
=1-

1

2011

，
=

2010

2011

；
故答案為

2010

2011

；

（2）連接CF，
∵CD、CE的長(zhǎng)為方程x²-2（

3

+1）x+4=0的兩根；
∴CE=2

3

，CD=2；
∵∠DCE=90°，
∴tan∠CDE=

CE

CD

=

3

，
∴∠CDE=60°；
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DFC=90°；
∴DF=

1

2

DC=

1

2

×2=1．
連接OF，
∵∠CDE=60°，OD=OF，
∴△DOF是等邊三角形；
∴OD=OF=DF=1；
∴S_△DOF=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，S_扇形FOC=

120π×12

360

=

π

3

，
S_陰影FEC=S_△DCE-S_△DOF-S_扇形FOC=

1

2

×2×2

3

-

3

4

-

π

3

=

7 3

4

-

π

3

，
S_陰影DBC=S_扇形BCD-S_半圓O=

90π×22

360

-

1

2

π×1²=

1

2

π，
∴S_陰影=S_陰影FCE+S_陰影DBC=

7 3

4

-

π

3

+

1

2

π=

7 3

4

+

π

6

，
故答案為：

7 3

4

+

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查解一元二次方程、銳角三角函數(shù)、扇形的面積、三角形的面積計(jì)算方法以及利用規(guī)律解答計(jì)算題．