Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)．

（1）求拋物線和直線的解析式．

（2）若點(diǎn)是拋物線上位于直線上方的一個(gè)動點(diǎn)，求的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）若拋物線的對稱軸與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值為，此時(shí)點(diǎn)P(，)；（3）能，(0，1)，(，)或(，)

【解析】

（1）直接利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解，即可得到答案；

（2）設(shè)點(diǎn)P(m，-m2-2m+3)，則Q(m，-m+1)，求出PQ的長度，結(jié)合三角形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到答案；

（3）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)M(t，-t+1)，則點(diǎn)N(t，-t2-2t+3)，可分為兩種情況進(jìn)行①當(dāng)點(diǎn)M在線段AC上時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)M上方；②當(dāng)點(diǎn)M在線段AC（或CA）延長線上時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)M下方；分別求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．

解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c過點(diǎn)A(1，0)，C(-2，3)，

∴解得：

∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+n．

將點(diǎn)A，C坐標(biāo)代入，得

解得

∴直線AC的解析式為y=-x+1．

（2）過點(diǎn)P作PQ∥y軸交AC于點(diǎn)Q．

設(shè)點(diǎn)P(m，-m2-2m+3)，則Q(m，-m+1)．

∴PQ=(-m2-2m+3)-(-m+1)=-m2-m+2．

∴S△APC=S△PCQ+S△APQ=PQ·(xA-xC)=(-m2-m+2)×3=．

∴當(dāng)m=時(shí)，S△APC最大，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P(，)．

（3）能．

∵y=-x2-2x+3，點(diǎn)D為頂點(diǎn)，

∴點(diǎn)D(-1，4)，

令x=-1時(shí)，y=-（-1）+1=2，

∴點(diǎn)E(-1，2)．

∵MN∥DE，

∴當(dāng)MN=DE=2時(shí)，以D，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

∵點(diǎn)M在直線AC上，點(diǎn)N在拋物線上，

∴設(shè)點(diǎn)M(t，-t+1)，則點(diǎn)N(t，-t2-2t+3)．

①當(dāng)點(diǎn)M在線段AC上時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)M上方，則

MN=(-t2-2t+3)-(-t+1)=-t2-t+2．

∴-t2-t+2=2，

解得：t=0或t=-1（舍去）．

∴此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．

②當(dāng)點(diǎn)M在線段AC（或CA）延長線上時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)M下方，則

MN=(-t+1)-(-t2-2t+3)=t2+t-2．

∴t2+t-2=2，

解得：t=或t=．

∴此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（0，1），（，）或（，）．