Question

【題目】如圖1，以邊長為8的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑作⊙O，交對角線AC于點(diǎn)E．

（1）線段AE=____________；

（2）如圖2，以點(diǎn)A為端點(diǎn)作∠DAM=30°，交CD于點(diǎn)M，沿AM將四邊形ABCM剪掉，使Rt△ADM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)(如圖3)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜150°)，旋轉(zhuǎn)過程中AD與⊙O交于點(diǎn)F．

①當(dāng)α=30°時，請求出線段AF的長；

②當(dāng)α=60°時，求出線段AF的長；判斷此時DM與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

③當(dāng)α=___________°時，DM與⊙O相切。

Answer 1

【答案】（1）；（2）①4；②DM與⊙O的位置關(guān)系是相離；③90°

【解析】（1）連接BE，∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠BAC=45°，∴△AEB是等腰直角三角形，又∵AB=8，∴AE=4；

（2）①連接OA、OF，由題意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，則∠OAF=60°，又∵OA=OF，∴△OAF是等邊三角形，∵OA=4，∴AF=OA=4；

②連接B'F，此時∠NAD=60°，∵AB'=8，∠DAM=30°，∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4；

此時DM與⊙O的位置關(guān)系是相離；

③∵AD=8，直徑的長度相等，∴當(dāng)DM與⊙O相切時，點(diǎn)D在⊙O上，故此時可得α=∠NAD=90°．