Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，∠B=60°，P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/秒的速度沿A→C→B的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/秒的速度沿A→B→C→D的方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，△APQ與△ABC重疊部分的面積為ycm²（規(guī)定：點(diǎn)和線段是面積為0的三角形）．
（1）當(dāng)x=

8

秒時(shí)，P和Q相遇；
（2）當(dāng)x=

（12-4

3

）

秒時(shí)，△APQ是等腰直角三角形；
（3）當(dāng)x=

32

3

秒時(shí)，△APQ是等邊三角形；
（4）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，∠B=60°，則易證△ABC是等邊三角形，且邊長(zhǎng)是8cm．由點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇，則兩人所走的路程的和是24cm．設(shè)從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是x秒，據(jù)此列方程，求解即可；
（2）當(dāng)P在AC上，Q在AB上時(shí)，由于∠PAQ=60°，則△APQ一定不是等腰直角三角形；當(dāng)P在AC上，Q在BC上時(shí)，若△APQ是等腰直角三角形，由于∠PAQ＜60°，即△APQ中A點(diǎn)不能為直角頂點(diǎn)，如果∠PQA=90°，則∠PAQ=45°，∠QAB=15°，而∠B=60°，所以∠CQA=75°＜∠PQA，不合題意，即△APQ中Q點(diǎn)不能為直角頂點(diǎn)，所以只能∠APQ=90°，AP=PQ，根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系，就可以得到一個(gè)關(guān)于x的方程，就可以得到x的值；當(dāng)P在BC上，Q在CD上時(shí)，△APQ一定不是等腰直角三角形；
（3）當(dāng)P在AC上，Q在AB上時(shí)，AP≠AQ，則△APQ一定不是等邊三角形；當(dāng)P在AC上，Q在BC上時(shí)，∠PAQ＜60°，則△APQ一定不是等邊三角形；當(dāng)P在BC上，Q在CD上時(shí)，若△APQ是等邊三角形，則易證△ADQ≌△ACP，得出CP=DQ，根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系，就可以得到一個(gè)關(guān)于x的方程，解方程即可求出x的值；
（4）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)根據(jù)0≤x≤4和4＜x≤8以及8＜x≤12三種情況進(jìn)行討論．把x當(dāng)作已知數(shù)值，就可以求出y，即可得到函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=8cm，
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形．
設(shè)點(diǎn)P，Q從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是x秒．
根據(jù)題意，得x+2x=24，
解得x=8秒．
即當(dāng)x=8秒時(shí)，P和Q相遇；

（2）若△APQ是等腰直角三角形，則此時(shí)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上，如圖．
∵△APQ是等腰直角三角形，∴∠APQ=90°，∴∠CPQ=90°．
∵AP=x，∴CP=AC-AP=8-x．
在△CPQ中，∵∠CPQ=90°，∠PCQ=60°，∴∠CQP=30°，
∴PQ=

3

CP=

3

（8-x）．
∵△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°，∴AP=PQ，
即x=

3

（8-x），
解得x=12-4

3

．
故當(dāng)x=（12-4

3

）秒時(shí)，△APQ是等腰直角三角形；

（3）若△APQ是等邊三角形，則此時(shí)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在CD上，如圖．
且△ADQ≌△ACP，則CP=DQ，
即x-8=24-2x，解得x=

32

3

．
故當(dāng)x=

32

3

秒時(shí)，△APQ是等邊三角形；

（4）分三種情況討論：
①當(dāng)0≤x≤4時(shí)，
y=S_△AP1Q1=

1

2

AP₁×AQ₁×sin60°=

1

2

x•2x×

3

2

=

3

2

x²，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值

3

2

×16=8

3

；
②當(dāng)4＜x≤8時(shí)，
y=S_△AP2Q2=

1

2

AP₂×CQ₂sin60°
=

1

2

x（16-2x）×

3

2

=-

3

2

x²+4

3

x，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)4＜x≤8時(shí)，y無(wú)最大值；
③當(dāng)8＜x≤12時(shí)，設(shè)P₃Q₃與AC交于點(diǎn)O．
過Q₃作Q₃E∥CB，則△CQ₃E為等邊三角形．
∴Q₃E=CE=CQ₃=2x-16．
∵Q₃E∥CB，
∴△COP₃∽△EOQ₃，
∴OC：OE=CP₃：EQ₃=（x-8）：（2x-16）=1：2，
∴OC=

1

3

CE=

1

3

（2x-16）．
∴y=S_△AOP3=S_△ACP3-S_△COP3=

1

2

CP₃×ACsin60°-

1

2

OC×CP₃sin60°
=

1

2

（x-8）×8×

3

2

-

1

2

×

1

3

（2x-16）（x-8）×

3

2

=-

3

6

x²+

14 3

3

x-

80 3

3

，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)x=12時(shí)，y有最大值-

3

6

×12²+

14 3

3

×12-

80 3

3

=

16 3

3

．
綜上可知，當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值

3

2

×16=8

3

．
故答案為8，（12-4

3

），

32

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題借助動(dòng)點(diǎn)問題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，求函數(shù)的解析式及最值，綜合性較強(qiáng)，難度較大．注意運(yùn)用分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．