【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A,B,與y軸交于C,拋物線的頂點(diǎn)為D,直線l過C交x軸于E(4,0).

(1)寫出D的坐標(biāo)和直線l的解析式;
(2)P(x,y)是線段BD上的動點(diǎn)(不與B,D重合),PF⊥x軸于F,設(shè)四邊形OFPC的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最大值;
(3)點(diǎn)Q在x軸的正半軸上運(yùn)動,過Q作y軸的平行線,交直線l于M,交拋物線于N,連接CN,將△CMN沿CN翻轉(zhuǎn),M的對應(yīng)點(diǎn)為M′.在圖2中探究:是否存在點(diǎn)Q,使得M′恰好落在y軸上?若存在,請求出Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

【解答】解:∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴D(1,4),

當(dāng)x=0時(shí),y=﹣x2+2x+3=3,則C(0,3),

設(shè)直線l的解析式為y=kx+b,

把C(0,3),E(4,0)分別代入得,解得,

∴直線l的解析式為y=x+3;


(2)

如圖(1),當(dāng)y=0時(shí),﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3,則B(3,0),

設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n,

把B(3,0),D(1,4)分別代入得,解得,

∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6,

則P(x,﹣2x+6),

∴S=(﹣2x+6+3)x=﹣x2+x(1≤x≤3),

∵S=﹣(x﹣2+,

∴當(dāng)x=時(shí),S有最大值,最大值為;


(3)

存在.

如圖2,設(shè)Q(t,0)(t>0),則M(t,t+3),N(t,﹣t2+2t+3),

∴MN=|﹣t2+2t+3﹣(t+3)|=|t2t|,

CM==t,

∵△CMN沿CN翻轉(zhuǎn),M的對應(yīng)點(diǎn)為M′,M′落在y軸上,

而QN∥y軸,

∴MN∥CM′,NM=NM′,CM′=CM,∠CNM=∠CNM′,

∴∠M′CN=∠CNM,

∴∠M′CN=∠CNM′,

∴CM′=NM′,

∴NM=CM,

∴|t2t|=t,

當(dāng)t2t=t,解得t1=0(舍去),t2=4,此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0);

當(dāng)t2t=t,解得t1=0(舍去),t2=,此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),

綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,0)或(4,0).


【解析】(1)先把拋物線解析式配成頂點(diǎn)式即可得到D點(diǎn)坐標(biāo),再求出C點(diǎn)坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求直線l的解析式;
(2)先根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題求出B(3,0),再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=﹣2x+6,則P(x,﹣2x+6),然后根據(jù)梯形的面積公式可得S=﹣x2+x(1≤x≤3),再利用而此函數(shù)的性質(zhì)求S的最大值;
(3)如圖2,設(shè)Q(t,0)(t>0),則可表示出M(t,﹣t+3),N(t,﹣t2+2t+3),利用兩點(diǎn)間的距離公式得到MN=|t2t|,CM=t,然后證明NM=CM得到|t2t|=t,再解絕對值方程求滿足條件的t的值,從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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a

200<x≤400

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