Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝x2﹣x﹣4交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

(1)點(diǎn)P為線(xiàn)段BC下方拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)P出發(fā)沿適當(dāng)路徑以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)到y軸上一點(diǎn)M，再沿適當(dāng)路徑以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)到x軸上的點(diǎn)N，再沿x軸以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B.當(dāng)四邊形ACPB面積最大時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的最小值；

(2)過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)D，將△AOC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1、C1，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中直線(xiàn)A1C1與x軸交于點(diǎn)Q.與線(xiàn)段CD交于點(diǎn)I.當(dāng)△DQI是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出DQ的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】(1)t的最小值為；(2)DQ的長(zhǎng)度為或或﹣或或.

【解析】

(1)過(guò)點(diǎn)B作BK⊥BC交y軸于點(diǎn)K，作P′H⊥BK交BK于點(diǎn)H、交y軸于點(diǎn)M、交x軸于點(diǎn)N，則此時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最小，即可求解；

(2)將△AOC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，相當(dāng)于存在一個(gè)半徑為OR圓O，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AC始終為垂直于OR的切線(xiàn)，確定圓的半徑OR后，分OR靠近x軸、y軸兩種大情況，分別在四個(gè)象限逐次求解即可.

解：(1)作PS∥y軸交BC于S，

y＝x2﹣x﹣4，令x＝0，則y＝﹣4，令y＝0，則x＝-3或4，

故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(﹣3，0)、(4，0)、(0，﹣4)，

則直線(xiàn)BC的表達(dá)式為：y＝x﹣4，

S四邊形ACPB＝S△ABC+S△PBC，

∵S△ABC為常數(shù)，

∴只要S△PBC取得最大值，四邊形ACPB面積即為最大，

設(shè)點(diǎn)P(x，x2﹣x﹣4)，則點(diǎn)S(x，x﹣4)，

S△PBC＝×PS×OB＝×4×(x﹣4﹣x2+x+4)＝x2+x，

∵<0，則S△PBC有最大值，即四邊形ACPB面積有最大值，

此時(shí)，x＝2，故點(diǎn)P(2，﹣).

作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′(﹣2，﹣)，

過(guò)點(diǎn)B作BK⊥BC交y軸于點(diǎn)K，作P′H⊥BK交BK于點(diǎn)H、交y軸于點(diǎn)M、交x軸于點(diǎn)N，

則此時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最小，

t＝P′M+MN+BN＝PM+MN+HN，

直線(xiàn)BK⊥BC，則直線(xiàn)BK的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式并解得：

直線(xiàn)BK的表達(dá)式為：y＝﹣x+4…①，

同理可得直線(xiàn)P′H的表達(dá)式為：y＝x﹣…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝，

故點(diǎn)H(，)，

則t＝P′H＝＝，

故運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的最小值為；

(2)∵AC⊥AD，

則直線(xiàn)CD的表達(dá)式為：y＝x﹣4，

故點(diǎn)D(，0)；

如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OR⊥AC于點(diǎn)R，

由面積公式得：OR×AC＝OA×OC，

即：OR＝ ＝，

設(shè)∠ODC＝α，則tanα＝，sinα＝，

則tan2α＝，tan＝(證明見(jiàn)備注)，

情況一：當(dāng)OR靠近y軸時(shí)，

①當(dāng)OR在一、三象限時(shí)，如圖3，4：

在圖3中，IQ＝ID，

則OQ＝＝＝4，

故QD＝+4＝；

在圖4中，IQ＝ID，

同理QD＝﹣4＝；

②當(dāng)OR在二、四象限時(shí)，如圖5，6：

在圖5中，DI＝DQ，

則∠DQI＝∠DIQ＝∠ODC＝α，

OQ＝＝，

則DQ＝﹣，

在圖6中，是與線(xiàn)段CD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交，不符合題意；

情況二：當(dāng)OR靠近x軸時(shí)，

如下圖：當(dāng)點(diǎn)R在二、四象限時(shí)，如圖7，

見(jiàn)左側(cè)圖，是與線(xiàn)段DC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交，不符合題意；

見(jiàn)右側(cè)圖，同理可得：DQ＝﹣＝；

當(dāng)點(diǎn)R在一、三象限時(shí)，如圖8，

見(jiàn)左側(cè)圖，同理可得：DQ＝﹣

見(jiàn)右側(cè)圖，是與線(xiàn)段DC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交，不符合題意；

綜上所述，DQ的長(zhǎng)度為或或﹣或+或或或或.

備注：已知tanα＝，求tan2α和tan.

如圖△ABD是以BD為底的等腰三角形，AC⊥BD，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，

則設(shè)：∠DAC＝∠BAC＝α，tanα＝，設(shè)BC＝CD＝3a，則AC＝4a，

由三角形的面積公式得：AH×AB＝DB×AC，

解得：AH＝＝，

則sin2α＝sin∠BAD＝＝，tan2α＝，

同理可得：tan＝.