Question

【題目】如圖所示，已知矩形ABOC中，AC=4，雙曲線y=與矩形兩邊AB、AC分別交于D、E，E為AC邊中點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使∠DPC=90°？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3）；（2）不存在點(diǎn)P，使∠DPC=90°

【解析】分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，代入反比例函數(shù)解析式計(jì)算，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），證明△COP∽△PBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，根據(jù)一元二次方程根的判別式解答．

詳解：（1）矩形ABOC中，AC=4，E為AC邊中點(diǎn)，

∴CE=2，即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，

∵點(diǎn)E在雙曲線y=上，

∴y==3，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3）；

（2）不存在點(diǎn)P，使∠DPC=90°，

理由如下：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），

則OP=a，PB=4﹣a，

由題意可知，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，

則縱坐標(biāo)為：y==，即BD=，

∵∠COP=∠CPD=∠PBD=90°，

∴△COP∽△PBD，

∴=，即，

整理得，a2﹣4a+=0，

△=16﹣18＜0，

∴方程無(wú)實(shí)根，

∴不存在點(diǎn)P，使∠DPC=90°．