【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=a,AD=b,點P是對角線BD上的一個動點(點P不與B、D重合),連接AP并延長交射線BC于點Q,
(1)當AP⊥BD時,求△ABQ的面積(用含a、b的代數(shù)式表示).
(2)若點M為AD邊的中點,連接MP交BC于點N,證明:點N也為線段BQ的中點.
(3)如圖,當為何值時,△ADP與△BPQ的面積之和最小.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)
【解析】
(1)由矩形性質(zhì),得到∠BAD=∠ABC=90°,由AP⊥BD,即可得到∠BAQ=∠ADB,則△ABQ∽△DAB,可得,可求出BQ,然后求出面積;
(2)由AD∥BC,得到△AMP∽△QNP,△DMP∽△BNP,然后得到,由AM=DM,即可得到NQ=BN;
(3)過點P作EF⊥AD交 AD、BC于 E 、F,設(shè)PE=h,則PF=a-h,根據(jù)對應(yīng)線段成比例,求出BQ的值;然后根據(jù)面積之和,得到關(guān)于h的一元二次方程,利用根的判別式,求出面積的取值范圍,當面積最小時,求出h的值,然后得到的值.
(1)解:如圖:
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD=a,BC=AD=b,∠BAD=∠ABC=90°,
∵AP⊥BD,
∴∠BAQ+∠QAD=90°, ∠QAD+∠ADB=90°,
∴∠BAQ =∠ADB,
∴△ABQ∽△DAB,
∴,
∴,
∴S△ABQ=;
(2) ∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴△AMP∽△QNP,△DMP∽△BNP,
∴,
∴,
∵點M是AD的中點,
∴AM=DM,
∴NQ=BN,
即點N是BQ的中點;
(3)如圖,過點P作EF⊥AD交 AD、BC于 E 、F,
設(shè)PE=h,則PF=a-h,
∵AD∥BC,
∴,
∵AD=b,
∴BQ=.
設(shè)△ADP和△BPQ的面積之和為S,則
=
=
=,
∴,
即:;
∵關(guān)于h的方程,有實數(shù)根,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴S的最小值為:,
當時,代入方程,
解得:;
∵AD∥BC,
∴,
∴當時,△ADP和△BPQ的面積之和最小.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都是1個單位長度,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,且點B的坐標為(4,2).
(1)畫出△OAB向下平移3個單位長度后的△O1A1B1;
(2)畫出△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△OA2B2;
(3)在(2)的條件下,求點B旋轉(zhuǎn)到點B2所經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保留根號和π).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線(k為常數(shù)).
(1)若拋物線經(jīng)過點(1,k2),求k的值;
(2)若拋物線經(jīng)過點(2k,y1)和點(2,y2),且y1>y2,求k的取值范圍;
(3)若將拋物線向右平移1個單位長度得到新拋物線,當1≤x≤2時,新拋物線對應(yīng)的函數(shù)有最小值,求k的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明和同學(xué)們在學(xué)習(xí)圓的基本性質(zhì)時發(fā)現(xiàn)了一個結(jié)論:如圖1,圓中,是圓中的兩條弦,于點,于點,若,則.
(1)請幫小明證明這個結(jié)論;
(2)請參考小明思考問題的方法解決問題,如圖2,在中,,為的內(nèi)心,以為圓心,為半徑的圓與三邊分別相交于點、、、. 若,,求的周長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(定義學(xué)習(xí))
定義:如果四邊形有一組對角為直角,那么我們稱這樣的四邊形為“對直四邊形”.
(判斷嘗試)
在A.矩形;B.菱形;C.正方形中;一定是“對直四邊形”的是______.(填字母序號)
(操作探究)
在菱形ABCD中,AB=2,∠B=60°,AE⊥BC于點E,請用尺規(guī)作圖法在邊AD和CD上各找一點F,使得由點A、E、C、F組成的四邊形為“對直四邊形”,連接EF,并直接寫出EF的長.(保留作圖痕跡,不寫作法)
(1)當點F在邊AD上時.
(2)當點F在邊CD上時.
(實踐應(yīng)用)
某加工廠有一批四邊形板材,形狀如圖所示,已知AB=3米,AD=1米,∠C=45°,∠A=∠B=90°.現(xiàn)根據(jù)客戶要求,需將每張四邊形板材進一步分割成兩個等腰三角形板材和一個“對直四邊形”板材,且這兩個等腰三角形的腰長相等,要求充分利用材料且無剩余,求分割后得到的等腰三角形的腰長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明和小李準備七月初到重慶或長沙去旅游,為了了解這兩個城市哪個更熱,他們查閱資料,收集了兩個城市2018年七月前兩周最高溫度的記錄,如下表:
日期(七月) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
重慶最高溫度/℃ | 33 | 36 | 34 | 31 | 31 | 30 | 30 | 33 | 34 | 36 | 37 | 35 | 37 | 37 |
長沙最高溫度/℃ | 29 | 34 | 35 | 35 | 36 | 29 | 31 | 31 | 34 | 35 | 35 | 31 | 35 | 35 |
根據(jù)上表,他們將兩個城市的最高溫度分別繪制了如下的頻數(shù)分布直方圖和統(tǒng)計表,并對數(shù)據(jù)進行了整理
七月初重慶最高溫度頻數(shù)分布直方圖
七月初長沙最高溫度統(tǒng)計表
平均數(shù)/℃ | 中位數(shù)/℃ | 眾數(shù)/℃ | 34/℃以上天數(shù) | 30/℃以下天數(shù) | |
重慶 | 33.9 | 34 | c | 6 | 0 |
長沙 | 33.2 | b | 35 | 7 | 2 |
請回答如下問題:
(1)本次調(diào)查的目的是________;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖,并寫出表中a,b,c的值,________,_____,c=___.
(3)結(jié)合以上分析,你認為七月初哪個城市更熱,請寫出兩條支持你觀點的理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,F是⊙O上一點,連接FO、FB.C為中點,過點C作CD⊥AB,垂足為D,CD交FB于點E,CG∥FB,交AB的延長線于點G.
(1)求證:CG是⊙O的切線;
(2)若BOF=120°,且CE=4,求⊙O的半徑.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料,解決問題.
小聰在探索三角形中位線性質(zhì)定理證明的過程中,得到了如下啟示:一條線段經(jīng)過另一線段的中點,則延長前者,并且長度相等,就能構(gòu)造全等三角形.如圖,D是△ABC的AC邊的中點,E為AB上任一點,延長ED至F,使DF=DE,連接CF,則可得△CFD≌△AED,從而把△ABC剪拼成面積相等的四邊形BCFE.你能從小聰?shù)姆此贾械玫絾⑹締幔?/span>
(1)如圖1,已知△ABC,試著剪一刀,使得到的兩塊圖形能拼成平行四邊形.
①把剪切線和拼成的平行四邊形畫在圖1上,并指出剪切線應(yīng)符合的條件.
②思考并回答:要使上述剪拼得到的平行四邊形成為矩形,△ABC的邊或角應(yīng)符合什么條件?菱形呢?正方形呢?(直接寫出用符號表示的條件)
(2)如圖2,已知銳角△ABC,試著剪兩刀,使得到的三塊圖形能拼成矩形,把剪切線和拼成的矩形畫在圖2上,并指出剪切線應(yīng)符合的條件.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的盒子里,裝有四個分別標有數(shù)字,,,的小球,它們的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同.小強先從盒子里隨機取出一個小球,記下數(shù)字為x;放回盒子搖勻后,再由小華隨機取出一個小球,記下數(shù)字為y.
(1)用列表法或畫樹狀圖表示出(x,y)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)求小強、小華各取一次小球所確定的點(x,y)落在一次函數(shù)的圖象上的概率;
(3)求小強、小華各取一次小球所確定的數(shù)x、y滿足的概率.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com