【題目】如圖1所示,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在y軸正半軸上,點(diǎn)B、C分別在x軸的負(fù)半軸、正半軸上,且AB=AC,∠ACB=30°,OD⊥AB于點(diǎn)D.
(1)求證:BD=3AD;
(2)如圖2,點(diǎn)E在OD的延長線上,連接BE,在線段BE上取點(diǎn)F,連接CF分別交OE、AB于點(diǎn)G、H(點(diǎn)G、H、D互不重合),若FE=FG,求證:∠EBA﹣∠BCF的度數(shù)為定值;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接EC,若C(4,0),A(0,4),求S△ECG.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)S△EGC=12.
【解析】
(1)根據(jù)直角三角形中的正余弦定理,可得到BD與AD的長度關(guān)系.(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式,可得∠EBA﹣∠BCF=30°.(3)以B為圓心,BO長為半徑畫弧交ED于點(diǎn)M,連接BM,過點(diǎn)C作EO的垂線,交EO的延長線于點(diǎn)N,再根據(jù)全等三角形性質(zhì),可得S△EGC.
解:(1)∵AB=AC,∠ACB=30°,OD⊥AB
∴∠ABC=30°,∠ODB=90°,
∴∠BOD=60°,
∴∠AOD=30°,
∴AD=OA,OA=AB
∴OA=2AD,AB=2AO,
∴AB=4AD,
∴BD=3AD.
(2)∵FE=FG,
∴設(shè)∠E=∠EGF=α,
∴∠OGC=α,
∵∠DOB=60°,
∴∠BCF=60﹣α,
∵∠EDB=90°,
∴∠EBA=90°﹣α,
∴∠EBA﹣∠BCF=30°,
∴∠EBA﹣∠BCF的度數(shù)為定值.
(3)如圖1所示,以B為圓心,BO長為半徑畫弧交ED于點(diǎn)M,連接BM,過點(diǎn)C作EO的垂線,交EO的延長線于點(diǎn)N,
∴BM=OC,∠EMB=∠GOC=120°,
∵∠BEM=∠OGC,
∴△EMB≌△GOC(AAS),
∴EM=OG,
∴EG=MO=BO=4,
∵∠CON=60°,∠N=90°,
∴∠OCN=30°,
∴ON=OC=2,
∴CN=6,
∴S△EGC=EGCN=4×6×=12.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠在生產(chǎn)過程中要消耗大量電能,消耗每千度電產(chǎn)生利潤與電價是一次函數(shù)關(guān)系,經(jīng)過測算,工廠每千度電產(chǎn)生利潤y(元/千度))與電價x(元/千度)的函數(shù)圖象如圖:
(1)請求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)為了實(shí)現(xiàn)節(jié)能減排目標(biāo),有關(guān)部門規(guī)定,該廠電價x(元/千度)與每天用電量m(千度)的函數(shù)關(guān)系為x=20m+500,且該工廠每天用電量不超過50千度,為了獲得最大利潤w,工廠每天應(yīng)安排使用多少度電?工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤最大是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一組數(shù)據(jù):x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均數(shù)是2,方差是3,則另一組數(shù)據(jù):3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,3x4﹣2,3x5﹣2,3x6﹣2的平均數(shù)和方差分別是( 。
A. 2,3 B. 2,9 C. 4,25 D. 4,27
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn) A、B 在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為﹣12 和 8,兩只螞蟻 M、N 分別 從 A、B 兩點(diǎn)同時出發(fā),相向而行.M 的速度為 2 個單位長度/秒,N 的速度為 3 個單位長度/秒.
(1)運(yùn)動 秒鐘時,兩只螞蟻相遇在點(diǎn) P;點(diǎn) P 在數(shù)軸上表示的數(shù) 是 ;
(2)若運(yùn)動 t 秒鐘時,兩只螞蟻的距離為 10,求出 t 的值(寫出解題過程).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以點(diǎn)A為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交AB,AC于點(diǎn)M和N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于MN長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,連結(jié)AP并延長,交BC于點(diǎn)D,則下列說法中,正確的個數(shù)是( )
①AD是∠BAC的平分線;②∠ADC=60°;③點(diǎn)D在AB的中垂線上;④S△DAC∶S△ABC=1∶3.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,一個點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始,先向右移動2個單位長度,再向左移動5個單位長度,可以看到終點(diǎn)表示是-3,已知A、B是數(shù)軸上的點(diǎn),請參照下圖并思考,完成下列各題.
(1)如果點(diǎn)A表示的數(shù)-1,將點(diǎn)A向右移動4個單位長度,那么終點(diǎn)B表示的數(shù)是____.A、B兩點(diǎn)間的距離是__________.
(2)如果點(diǎn)A表示的數(shù)2,將點(diǎn)A向左移動6個單位長度,再向右移動3個單位長度,那么終點(diǎn)B表示的數(shù)是____.A、B兩點(diǎn)間的距離是____.
(3)如果點(diǎn)A表示的數(shù)m,將點(diǎn)A向左移動n個單位長度,再向左移動p個單位長度,那么請你猜想終點(diǎn)B表示的數(shù)是___.A、B兩點(diǎn)間的距離是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,甲乙兩點(diǎn)沿著邊長為3cm的正方形,按A→B→C→D→A…的方向行走,甲從A點(diǎn)以3cm/s的速度、乙從B點(diǎn)以a cm/s的速度同時行走,設(shè)運(yùn)動時間為t秒,t=2時甲乙兩點(diǎn)第一次相遇.
(1)求a
(2)若a>3,且甲乙第一次相遇后,乙的速度變?yōu)?cm/s,當(dāng)兩點(diǎn)第二次相遇前相距4cm時,t為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形OBCD位于直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B(,0),點(diǎn)D(0,m)在y軸正半軸上,點(diǎn)A(0,1),BE⊥AB,交DC的延長線于點(diǎn)E,以AB,BE為邊作ABEF,連結(jié)AE.
(1)當(dāng)m=時,求證:四邊形ABEF是正方形.
(2)記四邊形ABEF的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.
(3)若AE的中點(diǎn)G恰好落在矩形OBCD的邊上,直接寫出此時點(diǎn)F的坐標(biāo).
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【題目】如圖,動點(diǎn)M、N同時從原點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸做勻速運(yùn)動,己知動點(diǎn)M、N的運(yùn)動速度比是1:2(速度單位:1個單位長度/秒),設(shè)運(yùn)動時間為t秒.
(1)若動點(diǎn)M向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動,動點(diǎn)N向數(shù)軸正方向運(yùn)動,當(dāng)t=2秒時,動點(diǎn)M運(yùn)動到A點(diǎn),動點(diǎn)N運(yùn)動到B點(diǎn),且AB=12(單位長度).
①在數(shù)軸上畫出A、B兩點(diǎn)的位置,并回答:點(diǎn)M運(yùn)動的速度是 (單位長度/秒);點(diǎn)N運(yùn)動的速度是 (單位長度/秒).
②若點(diǎn)P為數(shù)軸上一點(diǎn),且PA﹣PB=OP,求的值;
(2)由(1)中A、B兩點(diǎn)的位置開始,若M、N同時再次開始按原速運(yùn)動,且在數(shù)軸上的運(yùn)動方向不限,再經(jīng)過幾秒,MN=4(單位長度)?
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