Question

【題目】如圖（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分別是AB，AC的中點．若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，如圖（2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°），記直線BD1與CE1的交點為P．

（1）求證：BD1＝CE1；

（2）當∠CPD1＝2∠CAD1時，則旋轉(zhuǎn)角為α＝　 　（直接寫結(jié)果）

（3）連接PA，△PAB面積的最大值為　 　（直接寫結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）45°；（3）2+2．

【解析】

（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和SAS證明△ABD1≌△ACE1即可得出結(jié)論；

（2）由（1）的結(jié)論可得∠ABD1＝∠ACE1，進而可得∠CPB＝∠BAC，問題即得解決；

（3）作PH⊥AB，交AB所在直線于點H，則D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，當BD1所在直線與⊙A相切時，直線BD1與CE1的交點P到直線AB的距離最大，此時四邊形AD1PE1是正方形，利用解直角三角形的知識求出此時PH的長即可.

解：（1）∵∠CAB=∠D1AE1=90°，∴∠BAD1=∠CAE1，

又∵AB=AC，AD1=AE1，

∴△ABD1≌△ACE1（SAS），

∴BD1＝CE1；

（2）如圖（2），設(shè)AC與BD1交于點G，

由（1）知△ABD1≌△ACE1，

∴∠ABD1＝∠ACE1，

∵∠AGB＝∠CGP，

∴∠CPG＝∠BAG＝90°，

∴∠CPD1＝90°，

∵∠CPD1＝2∠CAD1，

∴∠CAD1＝∠CPD1＝45°；

故答案為45°；

（3）如圖3，∵AC＝AB＝4，點D，E分別是AB，AC的中點，

∴AD＝AE＝2，

由旋轉(zhuǎn)知，AD1＝AE1＝AD＝2，

作PH⊥AB，交AB所在直線于點H，

∵D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，

當BD1所在直線與⊙A相切時，直線BD1與CE1的交點P到直線AB的距離最大，

此時四邊形AD1PE1是正方形，PD1＝2，

則BD1═，

∴∠ABP＝30°，

∴PB＝2+2，

∴點P到AB所在直線的距離的最大值為：PH＝1+．

∴△PAB的面積最大值為AB×PH＝2+2，

故答案為2+2．