Question

如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)OA與雙曲線(xiàn)y=

k

x

(k≠0)在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，若OB=4，tan∠AOB=

1

2

．
（1）求雙曲線(xiàn)的解析式；
（2）直線(xiàn)AC與y軸交于點(diǎn)C（0，1），與x軸交于點(diǎn)D，求△AOD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正切函數(shù)的定義，即可求得AB的長(zhǎng)，即求得A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）利用待定系數(shù)法求得AC的解析式，然后 求得D的橫坐標(biāo)，即求得OD的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式即可求解．

解答：解：（1）∵tan∠AOB=

1

2

．
∴

AB

OB

=

1

2

∴AB=2
則A的坐標(biāo)是（4，2）．
把A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得：2=

k

4

∴k=8
則反比例函數(shù)的解析式是：y=

8

x

；

（2）設(shè)直線(xiàn)AC的解析式是y=kx+b
根據(jù)題意得：

b=1 4k+b=2

解得：

b=1 k=  1 4

則AC的解析式是：y=

1

4

x+1．
在解析式中令y=0，解得：x=-4．
則OD=4
△AOD的面積等于：

1

2

×4×2=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，是一次函數(shù)，反比例函數(shù)以及三角函數(shù)的綜合應(yīng)用．