(2002•甘肅)(在下面的(I)(II)兩題中選做一題,若兩題都做,按第(I)題評分)
(I)如圖,在△ABC中,AB=4,BC=3,∠B=90°,點D在AB上運動,但與A、B不重合,過B、C、D三點的圓交AC于E,連接DE.
(1)設AD=x,CE=y,求y與x之間的函數(shù)關系式,并指出自變量x的取值范圍;
(2)當AD長為關于x的方程2x2+(4m+1)x+2m=0的一個整數(shù)根時,求m的值.

(II)如圖,在直角坐標系xOy中,以點A(0,-3)為圓心作圓與x軸相切,⊙B與⊙A外切干點P,B點在x軸正半軸上,過P點作兩圓的公切線DP交y軸于D,交x軸于C,
(1)設⊙A的半徑為r1,⊙B的半徑為r2,且r2=r1,求公切線DP的長及直線DP的函數(shù)解析式,
(2)若⊙A的位置、大小不變,點B在X軸正半軸上移動,⊙B與⊙A始終外切.過D作⊙B的切線DE,E為切點.當DE=4時,B點在什么位置?從解答中能發(fā)現(xiàn)什么?

【答案】分析:(Ⅰ)(1)可先在直角三角形ABC中,求出AC的長,然后根據(jù)相似三角形ADE和ABC,得出關于AE,AB,AD,AC的比例關系式,用x表示出AE,然后根據(jù)AE+EC=AC即可得出關于x,y的函數(shù)關系式;
(2)觀察方程,可先用十字相乘法解方程,用m表示出方程的根,然后根據(jù)方程的根為整數(shù),來判斷m的取值.

(Ⅱ)(1)由于三角形ADP和ABO全等(一個公共角,一組直角,AO=AP),因此要求DP的長,就是求出OB的長,已知了A的坐標,也就知道了⊙A的半徑長,根據(jù)⊙A,⊙B的半徑的比例關系即可求出BP的長,那么就知道了AB的長,可在直角三角形AOB中得出OB的值,也就求出了DP的長.求DP所在的直線的解析式,就要知道D,C兩點的坐標,關鍵是求OD,OC,因為三角形ADP和ABO全等,那么求出了AB的長,也就知道了AD的長,根據(jù)OD=AD-OA,即可得出D的坐標,根據(jù)相似△DOC和△BOA,可求出OC的長,那么知道了D,C的坐標后,可用待定系數(shù)法求出DP所在直線的解析式;
(2)很顯然,四邊形OBED是矩形,由此可以求出B點的坐標應該是(0,4).
解答:(Ⅰ)解:(1)在△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=3,
∴AC=5,
∵四邊形DBCE為圓的內(nèi)接四邊形,
∴∠AED=∠B,又∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB,
∴AE:AB=AD:AC,
∴AE==x,
由CE=AC-AE得y=5-x=-x+5,
∵點D在AB上運動,且與A,B不重合,AB=4,
∴自變量x的取值范圍是0<x<4;

(2)∵2x2+(4m+1)x+2m=0,
∴(x+2m)(2x+1)=0,
∴x=-2m,x=-,
∵x=-是分數(shù).
∴整數(shù)根為-2m,即AD=-2m,
∵0<x<4,即0<AD<4,
∴滿足0<AD<4的正數(shù)為1,2,3,
當AD=-2m=1時,m=-;
當AD=-2m=2時,m=-1;
當AD=-2m=3時,m=-
∵方程2x2+(4m+1)x+2m的判別式為△=(4m+1)2-16m=(4m-1)2,
對任何實數(shù)m恒有(4m-1)2≥0,
∴所求的值為-,-1和-

(Ⅱ)解:(1)∵A(0,-3),
∴AO=AP=3,
又r2=r1,即BP=AP=2,
∴AB=5,
∴BO=4.
又Rt△AOB∽Rt△CPB,得:,
∴BC==,OC=4-=
∴點C的坐標是C(,0)
∵Rt△APD≌Rt△AOB,
∴AD=AB=5,PD=BO=4
設點PD的解析式為y=kx+b,則有:
,
得k=-,b=2,
∴直線PD的解析式是y=-x+2;

(2)點B的坐標為(4,0),
可以看出,四邊形OBED是矩形.
點評:本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)以及圓與圓的位置關系等知識點,也考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式,綜合性比較強.
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(1)設⊙A的半徑為r1,⊙B的半徑為r2,且r2=r1,求公切線DP的長及直線DP的函數(shù)解析式,
(2)若⊙A的位置、大小不變,點B在X軸正半軸上移動,⊙B與⊙A始終外切.過D作⊙B的切線DE,E為切點.當DE=4時,B點在什么位置?從解答中能發(fā)現(xiàn)什么?

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