Question

【題目】如圖，已知平行四邊形OACB的頂點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)分別是（0，0）、（0，a），（b，0），且a、b滿足

（1）如圖1，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）如圖2，點(diǎn)P為邊OB上一動點(diǎn)，作等腰Rt△APD，且∠APD=90°．當(dāng)點(diǎn)P從O運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中，求點(diǎn)D運(yùn)動路程的長度；

（3）如圖3，在（2）的條件下，作等腰Rt△BED，且∠DBE=90°，再作等腰Rt△ECF，且∠ECF=90°，直線FE分別交AC、OB于點(diǎn)M、N，求證：FM=EN．

Answer 1

【答案】（1）C（4，4）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)+(2a-8)2=0可知2a-8=0，解得a=4，a=b，則b=4，A(0，4)，B(4，0)，可知OA=OB，四邊形OACB為平行四邊形，∠AOB=90°，則四邊形OACB為正方形，可得C(4，4)．

（2）點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為一條線段，則點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡也為一條線段，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)D的位置如圖1所示，點(diǎn)D的運(yùn)動路徑為BD，算出BD=4．

（3）由（2）點(diǎn)D的運(yùn)動路徑可知點(diǎn)D在∠OBC的外角平分線上，過點(diǎn)F作FG垂直AC于點(diǎn)G，過E作EH垂直AC于點(diǎn)H，已知△FCE為等腰直角三角形，可推出△FGC≌△CHE（AAS），過點(diǎn)E作EQ垂直OB于點(diǎn)Q，可推出△FGM≌△ENQ（AAS），可得FM=EN．

解：（1）∵+(2a-8)2=0

∴2a-8=0，解得a=4，

∵a=b，

∴b=4，

∴A(0，4)，B(4，0)，

∴OA=OB，

∵四邊形OACB為平行四邊形，∠AOB=90°，

∴四邊形OACB為正方形，

∴C(4，4)．

（2）如圖1所示，

∵點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為一條線段，則點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡也為一條線段，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，因?yàn)椤?/span>APD是等腰直角三角形，所以A、C、D三點(diǎn)共線，點(diǎn)D的位置如圖1所示，此時(shí)△BCD是等腰直角三角形，

∴點(diǎn)D的運(yùn)動路徑為BD，

∴BD=4．

（3）如圖2所示，

由（2）點(diǎn)D的運(yùn)動路徑可知點(diǎn)D在∠OBC的外角平分線上，

∴∠DBC=∠EBC=∠EBO=45°，

∴ED//OB，

過點(diǎn)F作FG垂直AC于點(diǎn)G，過E作EH垂直AC于點(diǎn)H，

∴∠FGC=∠EHC=90°，

∵△FCE為等腰直角三角形，

∴FC=EC，∠FCE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠FCG=∠ECB=∠CEH，

∴△FGC≌△CHE（AAS），

∴CH=FG，

過點(diǎn)E作EQ垂直OB于點(diǎn)Q，

則BQ=EQ=CH=FG，

∵∠FGM=∠EQN=90°，∠FMG=∠ENQ，

∴△FGM≌△ENQ（AAS），

∴FM=EN．