【題目】如圖,拋物線與直線分別相交于,兩點(diǎn),且此拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為,連接,.已知,.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn),使的值最大,并求出這個(gè)最大值;
(3)點(diǎn)為軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接,過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn),問(wèn):是否存在點(diǎn)使得以,,為頂點(diǎn)的三角形與相似?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,)時(shí),取最大值為;(3)存在點(diǎn).
【解析】
(1)根據(jù)待定系數(shù)法求解即可;
(2)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知:當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí),可使的值最大,據(jù)此求解即可;
(3)先求得,再過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),如圖,這樣就把以,,為頂點(diǎn)的三角形與相似問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以,,為頂點(diǎn)的三角形與相似的問(wèn)題,再分當(dāng)時(shí)與時(shí)兩種情況,分別求解即可.
解:(1)將,代入得:
,解得:,
∴拋物線的解析式是;
(2)解方程組:,得,,
∵,∴
當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)不共線時(shí),根據(jù)三角形三邊關(guān)系得,
當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí),,
∴當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí),取最大值,即為的長(zhǎng),
如圖,過(guò)點(diǎn)作BE⊥x軸于點(diǎn),則在中,由勾股定理得:,∴取最大值為;
易求得直線BC的解析式為:y=-x-3,拋物線的對(duì)稱軸是直線,當(dāng)時(shí),,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,);
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,)時(shí),取最大值為;
(3)存在點(diǎn),使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似.
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,
在中,∵,∴,
在中,∵,∴,
∴,,
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),如圖,
∵,,∴∽,
∵,
∴①當(dāng)時(shí),∽,
∴,解得,,(舍去)
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,∴點(diǎn)為;
②當(dāng)時(shí),∽,
∴,解得(舍去),(舍去),
∴此時(shí)無(wú)符合條件的點(diǎn);
綜上所述,存在點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】材料閱讀:
類比是數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想.比如,我們可以類比多位數(shù)的加、減、乘、除的豎式運(yùn)算方法,得到多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的加、減、乘、除的運(yùn)算方法.
理解應(yīng)用:
(1)請(qǐng)仿照上面的豎式方法計(jì)算:;
(2)已知兩個(gè)多項(xiàng)式的和為,其中一個(gè)多項(xiàng)式為.請(qǐng)用豎式的方法求出另一個(gè)多項(xiàng)式.
(3)已知一個(gè)長(zhǎng)為,寬為的矩形,將它的長(zhǎng)增加8.寬增加得到一個(gè)新矩形,且矩形的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的3倍(如圖).同時(shí),矩形的面積和另一個(gè)一邊長(zhǎng)為的矩形的面積相等,求的值和矩形的另一邊長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別與BC,AC交于點(diǎn)D,E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC,垂足為點(diǎn)F.
(1)求證:直線DF是⊙O的切線;
(2)求證:BC2=4CFAC;
(3)若⊙O的半徑為4,∠CDF=15°,求陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在“停課不停學(xué)”期間,小明用電腦在線上課,圖1是他的電腦液晶顯示器的側(cè)面圖,顯示屏AB可以繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度.研究表明:當(dāng)眼睛E與顯示屏頂端A在同一水平線上,且望向顯示器屏幕形成一個(gè)18°俯角(即望向屏幕中心P的的視線EP與水平線EA的夾角∠AEP)時(shí),對(duì)保護(hù)眼睛比較好,而且顯示屏頂端A與底座C的連線AC與水平線CD垂直時(shí)(如圖2)時(shí),觀看屏幕最舒適,此時(shí)測(cè)得∠BCD=30°,∠APE=90°,液晶顯示屏的寬AB為32cm.
(1)求眼睛E與顯示屏頂端A的水平距離AE;(結(jié)果精確到1cm)
(2)求顯示屏頂端A與底座C的距離AC.(結(jié)果精確到1cm)(參考數(shù)據(jù):sin18°≈0.3,cos18°≈0.9,tan18°≈0.3,≈1.4,≈1.7)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1,3),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B(4,0),直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A,B兩點(diǎn),下列結(jié)論: ①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;④拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(﹣1,0);⑤當(dāng)1<x<4時(shí),有y2<y1 ,
其中正確的是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩地相距一列快車和一列慢車都從甲地駛往乙地,慢車先行駛1小時(shí)后,快車才開(kāi)始行駛.已知快車的速度是以快車開(kāi)始行駛計(jì)時(shí),設(shè)時(shí)間為, 兩車之間的距離為,圖中的折線是與的函數(shù)關(guān)系的部分圖象,根據(jù)圖象解決以下問(wèn)題:
(1)慢車的速度是_ _,點(diǎn)的坐標(biāo)是_ _;
(2)線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式是_ ;
(3)試在圖中補(bǔ)全點(diǎn)以后的圖象.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知網(wǎng)格的小正方形的邊長(zhǎng)均為1,格點(diǎn)三角形ABC如圖所示,請(qǐng)用沒(méi)有刻度的直尺畫(huà)出滿足條件的圖形
(1)在甲圖中,畫(huà)出△,且相似比為2:1,各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.
(2)在乙圖中,把線段AB三等分.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》作為古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著,與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》中記載有一問(wèn)題“今有圓材埋在壁中,不知大。凿忎徶钜淮,鋸道長(zhǎng)一尺,問(wèn)徑幾何?”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意,畫(huà)出圓材截面圖如圖所示,已知:鋸口深為 1寸,鋸道AB=1尺(1尺=10寸),則該圓材的直徑為( )
A.13B.24C.26D.28
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC.
(1)求作直線EF使得EF交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F且使得EA=EC,FA=FC(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法);
(2)連接AF、CE,判斷四邊形AFCE的形狀,并說(shuō)明理由.
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