Question

【題目】綜合與實(shí)踐—探究正方形旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題

問(wèn)題情境:已知正方形中，點(diǎn)在邊上，且.將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形（點(diǎn)，，，分別是點(diǎn)，，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）.同學(xué)們通過(guò)小組合作，提出下列數(shù)學(xué)問(wèn)題，請(qǐng)你解答.

特例分析:（1）“樂(lè)思”小組提出問(wèn)題:如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在正方形的對(duì)角線上時(shí)，設(shè)線段與交于點(diǎn).求證:四邊形是矩形；

（2）“善學(xué)”小組提出問(wèn)題:如圖2，當(dāng)線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，猜想線段與滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

深入探究:（3）請(qǐng)從下面，兩題中任選一題作答.我選擇題.

A.在圖2中連接和，請(qǐng)直接寫出的值.

B.“好問(wèn)”小組提出問(wèn)題:如圖3，在正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，設(shè)直線交線段于點(diǎn).連接，并過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）A.，B..

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證得，從而證得緒論；

（2）連接、，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)結(jié)合三角形三線合一的性質(zhì)證得，再證得四邊形是矩形，從而求得結(jié)論；

（3）A. 設(shè)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)結(jié)合兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等證得，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例再結(jié)合勾股定理即可求得答案；

B. 作交直線于點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)利用AAS證得，證得OP是線段的中垂線，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)結(jié)合兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等證得，利用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比再結(jié)合勾股定理即可求得答案；

（1）由題意得：，，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：，

∵

四邊形是矩形

（2）連接、，過(guò)點(diǎn)作于N，

由旋轉(zhuǎn)得：，

∵，

，

∵ON⊥D，∠=∠，

∴四邊形是矩形，

∴，

∴；

（3）A.如圖，連接，，，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠BO=∠，BO= O，，

∴，

∴，

，

，

設(shè)，則，

B.如圖，過(guò)點(diǎn)作AG∥交直線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)O作交直線于點(diǎn)，連接OP，

∵AG∥，

，

四邊形是正方形 ，

由旋轉(zhuǎn)可知： ，，，，，

，，，

，

，

，

，

在和中，

，

，

又∵，

，

，，，

，

，

又∵，，

，

， ，

設(shè)，則，，

在中，由勾股定理可得：

，

．