Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣5，0）和點(diǎn)B（3，0）．與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．有一寬度為1，長度足夠的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對(duì)邊交拋物線于點(diǎn)P和Q，交直線AC于點(diǎn)M和N．交x軸于點(diǎn)E和F．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)M和N都在線段AC上時(shí)，連接MF，如果sin∠AMF= ，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在矩形的平移過程中，當(dāng)以點(diǎn)P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣5，0），B（3，0），

∴可以假設(shè)拋物線為y=a（x+5）（x﹣3），把點(diǎn)（0，5）代入得到a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+5．

（2）

解：）作FG⊥AC于G，設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)（m，0），

則AF=m+5，AE=EM=m+6，F(xiàn)G= （m+5），F(xiàn)M= = ，

∵sin∠AMF= ，

∴ = ，

∴ = ，整理得到2m2+19m+44=0，

∴（m+4）（2m+11）=0，

∴m=﹣4或﹣5.5（舍棄），

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（﹣4， ）

（3）

解：

①當(dāng)MN是對(duì)角線時(shí)，設(shè)點(diǎn)F（m，0）．

∵直線AC解析式為y=x+5，

∴點(diǎn)N（m，m+5），點(diǎn)M（m+1，m+6），

∵QN=PM，

∴﹣ m2﹣ m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣ （m+1）2﹣ （m+1）+5]，

解得m=﹣3± ，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)（﹣2+ ，3+ ）或（﹣2﹣ ，3﹣ ）．

②當(dāng)MN為邊時(shí)，MN=PQ= ，設(shè)點(diǎn)Q（m，﹣ m2﹣ m+5）則點(diǎn)P（m+1，﹣ m2﹣ m+6），

∴﹣ m2﹣ m+6=﹣ （m+1）2﹣ （m+1）+5，

解得m=﹣3．

∴點(diǎn)M坐標(biāo)（﹣2，3），

綜上所述以點(diǎn)P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（﹣2+ ，3+ ）或（﹣2﹣ ，3﹣ ）．

【解析】（1）設(shè)拋物線為y=a（x+5）（x﹣3），把點(diǎn)（0，5）代入即可解決問題．（2）作FG⊥AC于G，設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)（m，0），根據(jù)sin∠AMF= = ，列出方程即可解決問題．（3）①當(dāng)MN是對(duì)角線時(shí)，設(shè)點(diǎn)F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解決問題．②當(dāng)MN為邊時(shí)，MN=PQ= ，設(shè)點(diǎn)Q（m，﹣ m2﹣ m+5）則點(diǎn)P（m+1，﹣ m2﹣ m+6），代入拋物線解析式，解方程即可．本題考查二次函數(shù)綜合題、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)分類討論，用方程的思想解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．