Question

【題目】（1）補(bǔ)充完整：

如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為DC、BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連結(jié)EF，試說明DE+BF=EF．

解：將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合．由旋轉(zhuǎn)可得AB=AD，GB=ED，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°．

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°．

∴點(diǎn)G、B、F在同一條直線上．

∵∠EAF=45°，

∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠3=45°．

∴∠GAF=∠ ．

又∵AG=AE，AF=AF．

∴△GAF≌ ．

∵ =EF．

∴DE+BF=BG+BF=GF=EF．

（2）類比引申：

如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系 時(shí)，有EF=BE+DF．

（3）聯(lián)想拓展

如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°，試猜想BD、DE、EC滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．

Answer 1

【答案】(1) EAF，△EAF，GF；（2）∠B+∠D=180°；（3）BD2+CE2=DE2.

【解析】

（1）把△AEE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABG，可使AB與AD重合，證出△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；

（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；

（3）把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，證明△AFE≌△AFG（SAS），則EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷．

（1）將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合．由旋轉(zhuǎn)可得AB=ADMBGD，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°．

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°．

∴點(diǎn)G、B、F在同一條直線上．

∵∠EAF=45°，

∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45，

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠3=45°．

∴∠GAF=∠EAF．

又∵AG=AE，AF=AF．

∴△GAF≌△EAF．

∵GF=EF．

∴DE+BF=BG+BF=GF=EF，

故答案為EAF，△EAF，GF

（2）∠B+∠D=180°時(shí)，EF=BE+DF；

∵AB=AD，

∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖2，

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC+∠B=180°，

∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線，

在△AFE和△AFG中，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF=FG，

即：EF=BE+DF，

故答案為：∠B+∠ADC=180°；

（3）BD2+CE2=DE2．

理由是：把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，則∠FAB=∠CAE．

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠CAE=45°，

又∵∠FAB=∠CAE，

∴∠FAD=∠DAE=45°，

則在△ADF和△ADE中，

∴△ADF≌△ADE，

∴DF=DE，∠C=∠ABF=45°，

∴∠BDF=90°，

∴△BDF是直角三角形，

∴BD2+BF2=DF2，

∴BD2+CE2=DE2．