Question

【題目】如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E為AB上任意一動(dòng)點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE，連接AD，下列說(shuō)法：①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四邊形ABCD的面積有最大值，且最大值為．其中，正確的結(jié)論是（　�。�

A. ①②④ B. ①③⑤ C. ②③④ D. ①④⑤

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：首先根據(jù)已知條件看能得到哪些等量條件，然后根據(jù)得出的條件來(lái)判斷各結(jié)論是否正確．

解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，

∴AB=AC=BC=，CD=DE=CE；

∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；

①∵∠ACB=∠DCE=45°，

∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE；

即∠ECB=∠DCA；故①正確；

②當(dāng)B、E重合時(shí)，A、D重合，此時(shí)DE⊥AC；

當(dāng)B、E不重合時(shí)，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，則∠AFE、∠DFC必為銳角；

故②不完全正確；

④∵，∴；

由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC；

∴∠DAC=∠B=45°；

∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正確；

③由④知：∠DAC=45°，則∠EAD=135°；

∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；

∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；

因此△EAD與△BEC不相似，故③錯(cuò)誤；

⑤△ABC的面積為定值，若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；

△ACD中，AD邊上的高為定值（即為1），若△ACD的面積最大，則AD的長(zhǎng)最大；

由④的△BEC∽△ADC知：當(dāng)AD最長(zhǎng)時(shí)，BE也最長(zhǎng)；

故梯形ABCD面積最大時(shí)，E、A重合，此時(shí)EC=AC=，AD=1；

故S梯形ABCD=（1+2）×1=，故⑤正確；

因此本題正確的結(jié)論是①④⑤，故選D．