Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O直徑，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F，cos∠BAC=

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AF=8，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AC，

∵AE⊥DE，

∴OD⊥DE，

∵OD為半徑，

∴DE是⊙O切線；

（2）

解：過(guò)D作DH⊥AB于H，連接BD、OD，

則∠CAB=∠DOH，

∵cos∠DOH=cos∠CAB= ，

設(shè)OD=5x，則 AB=10x，OH=3x，DH=4x．

在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD2=（4x）2+（5x+3x）2=80x2，

∵DE⊥AC，AB是⊙O直徑，

∴∠AED=∠ADB=90°，

∵∠EAD=∠BAD（角平分線定義），

∴△EAD∽△DAB，

∴ ，

∴AD2=AEAB=AE10x，

∴AE=9x，

∵OD∥AE，

∴△ODF∽△EAF，

∴ ，

∵AF=8，

∴DF=5．

【解析】（1）連接OD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根據(jù)切線判定推出即可；（2）連接BD，過(guò)D作DH⊥AB于H，根據(jù)cos∠DOH=cos∠CAB= ，設(shè)OD=5x，則 AB=10x，OH=3x，DH=4x．由勾股定理得：AD2=80x2 ， 證△EAD∽△DAB求出AD2=AEAB=AE10x，得出AE=8x，根據(jù)△ODF∽△EAF即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的切線的判定定理，需要了解切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．